在Mathematica中求隐函数根

Question

在Mathematica中求隐函数根

我有一个隐式函数，例如：

f(x,y) = x^3 + x*y + y^2 - 36

我想求方程式f(x,y) = 0的根

绘制解决方案很简单：

ContourPlot[x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]

然而，我希望有图中的数据，而不仅仅是视觉图。那么如何找到该图的数据呢？

Answer 1

我不确定我是否正确地解释了您的第二个问题，但假设您需要生成的ContourPlot中的(x，y)点列表，一种方法可能如下所示：

plot = ContourPlot[
  x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]

获取点列表的步骤

points = Cases[Normal@plot, x_Line :> First@x, Infinity];

使用ListPlot“看一看”

ListPlot[points, PlotRange -> {{-2 Pi, 2 Pi}, {-3 Pi, 3 Pi}}]

给予

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编辑

纳赛尔正确地指出，这个问题以前已经解决过。Here是一个本质上相同的问题的链接，Szabolcs的this answer是相关的。

对于上面给出的答案，this method可能更直接：

points2 = Cases[plot, x_GraphicsComplex :> First@x, Infinity]

最后，我应该感谢“数学游戏:如何从图中提取点”，参见here，它给出了上面建议的两种方法(也是我现在经常使用的)。

编辑2

此方法是对上面方法1的改进，因为这些点是作为{x，y}值的列表(列表列表)获得的，没有任何无关的{ }。

Cases[Normal@plot, Line[{x__}] :> x, Infinity]

Paul Abbott在1998年数学杂志第7卷第2期第108-112页上发表的一篇文章《在区间中寻找根》提供了许多有用的信息，并且可以在here上找到

他指出以下几点也是可行的

Cases[Normal@plot, _Line, -1][[1, 1]]

和(！)

plot[[1, 1]]

我在评论中提到了FreshApple的question，在那里可以找到以下方法的一个(轻微变体)：

InputForm[plot][[1, 1, 1]]

下面的计算结果为True

plot[[1, 1]] == Cases[Normal@plot, Line[{x__}] :> x, Infinity] == 
 InputForm[plot][[1, 1, 1]] == Cases[Normal@plot, _Line, -1][[1, 1]]

编辑3

只是或者好玩..。

ListPlot@ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}][[1, 1]]

给出

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Answer 2

我鼓励您探索documentation on equation solving，特别是Solve和NSolve函数。

编辑

p = ContourPlot[x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]
p //InputForm

复制并粘贴所需的位。

或者，在我看来，对你的实际问题有一个更好的解决方案。

sol = Solve[x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0,{x}][[1]] 

您可能需要一些选项来获得正确的解决方案。

Table[{x/. sol,y},{y, -3 Pi, 3 Pi, 0.02}]

Answer 3

$.02对韦尔贝亚的回答的贡献：

记住检查x(y)和y(x)解，因为其中一个可能比另一个更干净。

在您的示例中：

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