N个空间中4个对象排列的递归算法

Question

我已经解决了下面显示的算法。

public static long park(int n)
{
   // precondition:  n >= 1
   // postcondition: Return the number of ways to park 3 vehicles,
   //   designated 1, 2 and 3 in n parking spaces, without leaving
   //   any spaces empty. 1 takes one parking space, 2 takes two spaces,
   //   3 takes three spaces. Each vehicle type cannot be distinguished
   //   from others of the same type, ie for n=2, 11 counts only once.
   //   Arrangements are different if their sequences of vehicle types,
   //   listed left to right, are different.
   //   For n=1:  1 is the only valid arrangement, and returns 1
   //   For n=2:  11, 2                     are arrangements and returns 2
   //   For n=3:  111, 12, 21, 3            are arrangements and returns 4
   //   For n=4:  1111,112,121,211,22,13,31 are arrangements and returns 7


    if(n==1)
        { return 1; }
    else if(n==2)
        { return 2; }
    else if(n==3)
        { return 4; }
    else
        {
        return (park(n-1) + park(n-2) + park(n-3));
        }
}

我需要帮助的是找出一个后续问题，即在排列中包含空的停车位。这应该是递归解决的。

Let's designate a single empty space as E.
For n=1:  1,E                and returns 2
For n=2:  11,2,EE,1E,E1      and returns 5
For n=3:  111,12,21,3,EEE,EE1,E1E,1EE,11E,1E1,E11,2E,E2     and returns 13
For n=4:  there are 7 arrangements with no E, and 26 with an E, returns 33

我在这上面花了很多时间。我从上面的算法中知道有多少排列没有空格。所以我一直在尝试找出有多少个排列有1个或更多的空格。这两个集合的结合应该会给我答案。对于n，具有一个或多个空空间的单空间排列的数量是2^n-1。但我不认为这会在递归解决方案中对我有帮助。

任何指导都将不胜感激。

Answer 1

我认为这是可行的：

public static long park(int n)
{
    if(n==1)
        { return 2; }
    else if(n==2)
        { return 5; }
    else if(n==3)
        { return 13; }
    else
        {
        return (park(n-1) + park(n-1) + park(n-2) + park(n-3));
        }
}

Answer 2

为了简单起见，我将使用递归来解释N<3中哪里出了问题。

对于一个空间，有两种情况，E和1，所以当n=1时，它应该是2。

当它是2时，它应该返回1+ park(1) + park(1)，因为2是2，1E，E1,11，当它是2时仍然可以。

当它为3时，它应该返回1+ park(2) + park(1) + park(1)，但是您可以看到，在park(1) + park(2)和Park(2) + park(1)中会多次计算某些情况。您必须删除所有这些重复项。

我认为这不是解决这个问题的好方法。

数学会变得更简单。

假设空插槽是N1，1个插槽car是N2，2个插槽car是N3，3个插槽car是N4。

N1 + N2 +2* N3 +3* N4 =N

我想你可以自己解决剩下的问题。