不断缩放3个圆，直到它们相交

Question

我已经用Python语言实现了trilateration定位算法，到目前为止，由于计算的距离受到信号干扰的影响，所以结果看起来很不对劲，所以看起来是这样的：

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当它看起来像这样的时候：

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因此，我在考虑使用一个恒定因子同时缩放这些圆，直到它们都在一点相交(这将是最优的)，或者直到它们的相互距离之和最小。给定2D空间中三个圆的XY坐标，以及它们与参考点(其中一个圆的圆心)之间的FSPL-computed距离，该函数应返回使误差最小的最佳缩放因子。它应该是这样的：

def find_best_scaling_constant(p1, p2, p3, r1, r2, r3):
  # some magic here
  return scalingConstant

find_best_scaling_constant((0.00, 0.00), (3.15, -0.47), (4.90, 7.00), 1.12, 1.77, 0.18)

我不是一个数学家，所以我不知道这个逻辑是否有意义，但如果有人有什么评论或更好的想法，请分享它们。这会有很大的帮助！

Answer 1

让圆具有带坐标的中心：

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并让相应的半径，你已经计算，是：

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分别使用。所以看起来你是在寻找要点

以及具有以下属性的比例因子：

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同样，我们需要找到一个点

在三个圆的公共交点所在的平面上，我们需要求解这个系统。

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很明显，上面的系统和系统之前编写的属性是等价的。

为了简化问题，将系统中的每个等式的两边平方：

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根据毕达哥拉斯定理，写下

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这就是为什么，在显式公式中，上面的三个平方方程组实际上是二次方程组：

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在将项从每个等式的右侧移动到左侧后，它变成：

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展开每个方程中的所有平方差并重新排序项：

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为了简化这个系统，从第一个方程中减去第二个方程，然后从第二个方程中减去第三个方程，并保留其中一个二次方程，假设保留第一个二次方程：

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找到这个系统的解决方案的想法如下：

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为了简化符号和表达式，我们可以使用一些线性代数中的符号。定义以下2乘2矩阵和2乘1列向量：

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当我们将后一个矩阵方程乘以M的逆矩阵时：

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让我们也用矩阵表示法来写

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最后，在用适当的比例因子缩放之后，寻找三个圆的交点的算法可以表示如下：

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注意到，对于z，二次方程有两个解。我选择的减号是第一个交点，只要三个圆在每个圆的外部，并且初始半径不相交。还有第二个交点，它对应于z的加号解决方案。如果您有来自第四个塔的信息，那么您将能够选择正确的点，甚至可能能够完全线性化问题。但是，仅使用这些可用的数据，您就有两种解决方案。

我用下面的hand示例测试了算法：

x1 = 0;  y1 = 0;  r1 = sqrt(13)/3;
x2 = 5;  y2 = 1;  r2 = sqrt(13)/3;
x3 = 3;  y3 = 7;  r3 = sqrt(17)/3;

它会输出正确的位置

x = 2;  y = 3;  

和比例因子k = 3。

我用Matlab/Octave实现了它，因为我对那里的线性代数很熟悉：

function [xy, k] = location_scaled(x1, y1, r1, x2, y2, r2, x3, y3, r3)

        M = 2*[x2 - x1  y2 - y1; 
               x3 - x2  y3 - y2];
        A = [r1^2 - r2^2; 
             r2^2 - r3^2];
        B = [x2^2 + y2^2 - x1^2 - y1^2; 
             x3^2 + y3^2 - x2^2 - y2^2];
        A = M\A;
        B = M\B;

        a = A'*A;
        b = 2*B'*A - 2*[x1  y1]*A - r1^2;
        c = [x1 y1]*[x1; y1] - 2*[x1  y1]*B + B'*B;

        k = (- b - sqrt(b^2 - 4*a*c)) / (2*a);

        xy = k*A + B;
        k = sqrt(k);

end