Java语言中的随机可逆矩阵

Question

我在一个项目上工作，对于这个项目，我需要生成一个正方形随机可逆矩阵。

我发现了如何生成一个平方随机矩阵，但我仍然希望确保这是一个可逆矩阵，而不需要计算行列式或多次生成这个矩阵，您能给我一个提示吗？

Answer 1

一种方法是生成矩阵的奇异值分解。也就是说，你生成‘随机’(正方形)正交矩阵U和V，以及一个‘随机’对角矩阵S，然后计算

 M = U*S*V'

注意，每个矩阵都有一个奇异值分解

只要S的对角线元素都不是0，M就是可逆的。许多处理可逆矩阵的例程对矩阵的条件数很敏感；随着条件数的增加，误差往往会增加。M的条件数与S的条件数相同，S的条件数是S的最大(绝对值)对角线元素除以最小(绝对值)。你可能想要控制这个。一种方法是生成S的元素，使其在例如lo，hi中是一致的，然后随机设置符号。

生成‘随机’正交矩阵的一种方法是生成‘随机’Householder反射的乘积，即以下形式的矩阵

R_v = 1 - 2*v*v'/(v'*v)

其中v是一个“随机”向量。每个n×n正交矩阵可以写成n个Householder反射的乘积。所有这一切在计算上并不像乍看起来那么严重。由于反射器的特殊形式，因此很容易编写计算

R_u*M and M*R_v'

在M中，仅使用n个额外的存储空间，并且是O( n* n)

所以一种方案是

Generate S
Repeat n times
  Generate random non zero vector u 
  Update S to be R_u*S
  Generate random non zero vector v 
  Update S to be S*R_v'

Answer 2

LU decomposition可能会起作用。

生成两个矩阵，L，它是下三角矩阵，所有项都在主对角线零之上；U，上三角矩阵，项在主对角线零以下。然后形成一个矩阵A=LU。

L或U的行列式只是主对角线下的项的乘积，所以你只需要确保这些项都不是零。A的行列式是这两个行列式的乘积。