优化三角形网格上的测地距离

Question

我有一个凸的三角网格。我能够计算曲面上的点之间的测地线；但是，我在解决以下问题时遇到了困难：

想象一张网被放置在网格上。网的外部边界与网格的边界重合，但允许与网的内部相对应的网的节点自由移动。我感兴趣的是找到压力最小的配置(我知道网络静止状态的距离)。

在光滑的表面上做这件事非常简单，因为我可以根据网络节点的位置来求解应力；但是，我看不到一种根据网络节点位置来计算应力的方法，因为我不知道凸三角曲面上的测地线是否存在公式。

我希望有另一种方法来解决这个问题，比如定点论点。

Answer 1

提示

如果我是对的，只要节点仍然在面内，方程就是线性的(就像节点在平面上一样)。假设某些节点/面对应，您可以求解平衡，就像节点确实属于各自的支撑平面一样，不受面边界的约束。

然后，对于发现位于面外的节点，可以将它们投影到曲面上，从而获得更好的面指定。希望这个过程可以收敛到一个稳定的解决方案。

该图显示了第一个试验性节点/面分配后的解决方案，然后是投影/重新分配后的第二个解决方案。

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转念一想，这个问题甚至更难，因为计算涉及节点之间的测地线距离，这取决于所穿越的面。因此，当移动单个节点时，线性保持的域甚至比面更小，它还受到从线条节点发出的、不包含其他顶点的“楔形”的限制。

然后，您可能必须计算域，其中到链接邻居的测地线距离是坐标的线性函数，并投影到曲面的此分区上。看起来像是在努力。