有没有办法扭转atan2的影响？

Question

我有一个关于反向atan2的具体问题，我将用PHP编写我的代码示例。

$radial = 1.12*PI();
$transformed = -atan2(cos($radial)*2, sin($radial)*1.5);
$backToRadial = ?

有没有一种方法可以将变换后的值反转到起始径向，而不需要知道起始径向？代码流应该是这样的：$radial => transform($radial) => transformback(transform($radial)) => $radial。

我已经在网上搜索过了(包括栈)，但我找不到任何正确的代码。我也看了维基百科，但它是压倒性的。我的问题更像是一个代数问题;)。

让我知道你的想法！

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由Jason S回答：

Answer (by radial range: -PI-PI):
$backToRadial = atan2(2*cos($transformed), -1.5*sin($transformed));

Answer (by radial range: 0-2PI):
$backToRadial = PI() + atan2(-(2*cos($transformed)), -(-1.5*sin($transformed)));

Answer 1

适用于主要角度(范围θ= -π到+π的角度)的简单答案如下：

θ‘= -atan2(2cosθ，1.5sinθ)

θ= atan2(2cosθ'，-1.5inθ')

其中第一个方程是您的正向变换，第二个方程是许多逆变换之一。

这样做的原因是，由于atan2(y，x) =θ，因此您所做的等同于对r =1的笛卡尔坐标对(x，y) = (r cosθ，r sinθ)的反射+缩放+单位幅度归一化。

一个有效的特定变换是(x'，y') = (1.5y，-2x)。

Atan2‘= atan2(y'，x') = atan2(-2x，1.5y) = atan2(-2Rcosθ，1.5Rsinθ) =atan2(2cosθ，1.5Rsin)，最后一步为真，因为对于任何大于0的k，-atan2(ky，kx) = atan2(y，x)，并且-y(y，x) =θ(2Rcosθ，1.5Rsin)。

这可以通过求解x和y来逆转，即y= 1/1.5 * x‘和x= -1/2 * y'：

θ= atan2(y，x) = atan2(1/1.5 * x'，-1/2 * y')

我们选择将(x，y)乘以k= 3/R以保持角度不变：

sin = atan2(2x'/R，-1.5y'/R) = atan2(2 cosθ'，-1.5θθ')

Q.E.D。

编辑: Jason正确地指出，您的示例角度1.12π不在主要角度范围-π到+π中。您需要定义希望能够处理的角度范围，并且该范围必须最大长度为2π。

我的答案可以相应地调整，但它需要一些工作来验证，而且由于您使用的是atan2()，并且它的输出在这个范围内，如果您坚持使用-πto +π范围，那么您会更容易。

如果您想使用输出角度在0-2π范围内的atan2()的修改版本，我建议您使用

atan2b(y,x) = pi+atan2(-y,-x)

其中，由于计算atan2(-y，-x)与atan2(y，x)的角度相差π(mod2π)，因此现在atan2b的输出介于0和2 mod之间。

如果你打算采用这种方法，不要计算-atan2b(y,x)；而是计算atan2b(-y,x)，(相当于mod 2π)，这样输出角度的范围就保持不变。