线性迭代求解器与直接求解器稳定性

Question

迭代求解器比基于LU分解的直接求解器更稳定。对于基于逻辑单元的求解器，我们总是有cond(A) < cond(L) * cond(U)，因此因式分解放大了数值误差。因此，在条件数大于1e10的病态矩阵A的情况下，为了稳定性和数值精度，使用迭代求解器会更好吗？

Answer 1

回答你的问题涉及到两个因素。

1)您正在分析的物理系统本身是病态的(用力学术语来说，系统是相当“松散”的，因此它的平衡状态可能会因边界条件的微小变化而变化很大)

2)物理系统正常，但在解算过程开始前，矩阵未正确缩放。

在第一种情况下，您可以做的并不多:物理系统本质上是不稳定的。例如，考虑应用不同的边界条件。在第二种情况下，预处理器应该是有帮助的；例如，雅可比预处理器使矩阵的所有对角线值都等于1。在这种情况下，迭代更有可能是converge.The条件，1e10的比率不应该代表太多麻烦，前提是使用了预处理。