估计收敛速度，有限差分格式

Question

我在尝试估计一个序列的收敛速度。

背景：

u^n+1 =G u_n，其中G是迭代矩阵(来自热方程)。

固定dx = 0.1，并设置dt = dx*dx/2.0以满足稳定性约束I，然后进行多次迭代，直到时间T= 0.1，并使用最大范数计算误差(已知解析解)。

这给了我一个全局误差序列，从理论上讲，它的形式应该是O(dt) + O(dx^2)。

现在，我想确认我们有O(dt)。

我该怎么做呢？

Answer 1

我认为Alexandre C.的建议可能需要一点改进(不是双关语)，因为全局误差估计取决于Δt和Δx。

因此，如果Δx太粗糙，通过减半来精炼Δt可能不会产生预期的减半误差。

一个更好的测试可能是同时通过四分化来减少Δt，通过减半来减少Δx。然后，全局误差估计导致我们期望通过四分割法减少误差。

偶然地，将全局误差和“尺度”绘制为对数-对数图来估计收敛顺序是很常见的。

随着更多的资源(时间和计算机运行)独立地改变时间和空间离散化将允许双参数拟合(相同类型的对数-对数模型)。

Answer 2

使用dt/2重新启动相同的代码，并见证错误减半。

Answer 3

我的物理很差，但像这样的简单问题，即使我也能做。

嗯，你有什么问题吗？

计算收敛速度：

如果您已将系列定义为，请使用

( Sum[a[n], {n, 1, Infinity}] )，则需要找到级数收敛的位置。

( L=Limit[a[n], n -> Infinity] )。

现在，您可以找到

的速率

( μ = Limit[(a[n + 1] - L)/(a[n] - L), n -> Infinity] )

求解析解的组合不确定度

使用方程式：

( Uc = Sqrt[(D[a, t] Δt)^2 + (D[a, x] Δx)^2] )