构建计算机代数系统

Question

我正在用PHP创建一个CAS (计算机代数系统)，但是我现在卡住了。我正在使用this website。

现在我写了一个记号赋予器。它将转换如下方程式：

1+2x-3*(4-5*(3x))

要这样做：

NUMBER PLUS_OPERATOR NUMBER VAR[X] MINUS_OPERATOR NUMBER MULTIPLY_OPERATOR GROUP

(其中group是另一组令牌)。我如何简化这个方程式呢？是的，我知道你可以做什么:添加X-var，但它们在子组中。我能用来处理这些令牌的最佳方法是什么？

Answer 1

真正有用的下一步是构建一个解析树：

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​

您可以通过编写一个中缀解析器来创建其中的一个。您可以通过编写一个简单的递归下降解析器或引入大块头和using a parser generator来实现这一点。在这两种情况下，构建一个形式语法都是有帮助的：

expression: additive

additive: multiplicative ([+-] multiplicative)*

multiplicative: primary ('*' primary)*

primary: variable
       | number
       | '(' expression ')'

请注意，此语法不处理2x语法，但它应该很容易添加。

注意语法规则中对递归的巧妙使用。primary仅捕获变量、数字和带括号的表达式，并在遇到运算符时停止。multiplicative解析一个或多个由*符号分隔的primary表达式，但在遇到+或-符号时停止。additive解析一个或多个由+和-分隔的multiplicative表达式，但在遇到)时停止。因此，递归方案决定了运算符的优先顺序。

就像我在下面(see full example at ideone.com)所做的那样，手动实现predictive parser并不是很困难：

function parse()
{
    global $tokens;
    reset($tokens);
    $ret = parseExpression();
    if (current($tokens) !== FALSE)
        die("Stray token at end of expression\n");
    return $ret;
}

function popToken()
{
    global $tokens;
    $ret = current($tokens);
    if ($ret !== FALSE)
        next($tokens);
    return $ret;
}

function parseExpression()
{
    return parseAdditive();
}

function parseAdditive()
{
    global $tokens;

    $expr = parseMultiplicative();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            ($next->op == "+" || $next->op == "-"))
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parseMultiplicative();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parseMultiplicative()
{
    global $tokens;

    $expr = parsePrimary();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            $next->op == "*")
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parsePrimary();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parsePrimary()
{
    $tok = popToken();
    if ($tok === FALSE)
        die("Unexpected end of token list\n");
    if ($tok->type == "variable")
        return mkVariableExpr($tok->name);
    if ($tok->type == "number")
        return mkNumberExpr($tok->value);
    if ($tok->type == "operator" && $tok->op == "(") {
        $ret = parseExpression();
        $tok = popToken();
        if ($tok->type == "operator" && $tok->op == ")")
            return $ret;
        else
            die("Missing end parenthesis\n");
    }

    die("Unexpected $tok->type token\n");
}

好了，现在你有了这个可爱的解析树，甚至还有一张漂亮的图片。这次又是什么？您的目标(目前)可能是简单地组合术语以获得表单的结果：

n1*a + n2*b + n3*c + n4*d + ...

我会把那部分留给你。拥有一个解析树应该会让事情变得更加简单。

Answer 2

PHP擅长字符串、数字和数组。但对于实现符号公式操作来说，它是一种糟糕的语言，因为它没有处理“符号表达式”的本机机制，而您确实需要树。是的，你可以实现所有这些机制。更难的是做代数运算。如果你想构建一些半复杂的东西，那会有相当多的工作量。理想情况下，您希望机器能够帮助您直接、轻松地编写转换。

例如，您将如何实现任意代数规则？结合性和交换性？术语“远距离匹配”，例如：

  (3*a+b)-2(a-b)+a ==> 3a-b

你可以看看a simple CAS can be implemented是如何使用我们的DMS program transformation system的。DMS具有内置的交换性和结合性等严格的数学结构，您可以显式编写代数规则来对符号公式进行操作。

Answer 3

Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods by Joel S. Cohen一书描述了一种自动简化代数表达式的算法。

该算法在C#的Symbolism计算机代数库中使用。在您的示例中，使用以下C#程序：

var x = new Symbol("x");

(1 + 2 * x - 3 * (4 - 5 * (3 * x)))
    .AlgebraicExpand()
    .Disp();

在控制台上显示以下内容：

-11 + 47 * x