MATLAB中最有效的矩阵求逆

Question

在MATLAB中计算某些方阵A的逆矩阵时，使用

Ai = inv(A)
% should be the same as:
Ai = A^-1

MATLAB通常会通知我，这不是最有效的倒置方法。那么哪个更有效率呢？如果我有一个方程系统，使用/，\运算符可能是。但有时我需要在其他计算中使用逆运算。

反转的最有效方法是什么？

Answer 1

我建议使用svd (除非你非常确定你的矩阵不是病态的)。然后，根据奇异值决定要采取的进一步操作。这可能听起来像是一种“过度杀伤力”的方法，但从长远来看，它会得到回报的。

现在，如果你的矩阵A实际上是可逆的，那么A的pseudo inverse与inv(A)重合，然而，如果你接近“奇点”，你将很容易做出适当的决定，如何进行实际的pseudo inverse。当然，这些决定将取决于您的应用程序。

给添加了一个简单的例子：

> A= randn(3, 2); A= [A A(:, 1)+ A(:, 2)]
A =
  -1.520342  -0.239380  -1.759722
   0.022604   0.381374   0.403978
   0.852420   1.521925   2.374346

> inv(A)
warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0
ans =
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf

> [U, S, V]= svd(A)
U =
  -0.59828  -0.79038   0.13178
   0.13271  -0.25993  -0.95646
   0.79022  -0.55474   0.26040

S =
Diagonal Matrix
  3.6555e+000            0            0
            0  1.0452e+000            0
            0            0  1.4645e-016

V =
   0.433921   0.691650   0.577350
   0.382026  -0.721611   0.577350
   0.815947  -0.029962  -0.577350

> s= diag(S); k= sum(s> 1e-9) % simple thresholding based decision
k =  2

> Ainv= (U(:, 1: k)* diag(1./ s(1: k))* V(:, 1: k)')'
Ainv =
  -0.594055  -0.156258  -0.273302
   0.483170   0.193333   0.465592
  -0.110885   0.037074   0.192290

> A* Ainv
ans =
   0.982633   0.126045  -0.034317
   0.126045   0.085177   0.249068
  -0.034317   0.249068   0.932189

> A* pinv(A)
ans =
   0.982633   0.126045  -0.034317
   0.126045   0.085177   0.249068
  -0.034317   0.249068   0.932189

Answer 2

我认为LU分解比反转更有效(如果你使用旋转，也可能更稳定)。如果您需要求解多个右侧向量，它尤其有效，因为一旦您有了LU分解，您就可以在需要时对每个向量进行前向后向替换。

我会推荐LU分解而不是全逆。如果这就是MATLAB所说的，我同意。

更新: 3x3矩阵？如果需要，您可以手动以封闭形式对其进行反转。只需先检查行列式，确保它不是奇数或近乎奇数。

Answer 3

如果你只需要倒数，那么就这么做，它在数值上会比inv(A)更稳定：

inv_A = 1\A;