blocks|key|4449789|text|这就是证据。|type|unstyled|depth|inlineStyleRanges|entityRanges|data|4449790|定理:设T是任意具有i叶的树。在T中有一个(%7CT%7C-i)/2匹配。|offset|length|style|CODE|4449791|证据:归纳法。如果T是具有i叶子的树，则将T'作为从T中删除所有叶子时生成的树。T'有j+<=+i叶子。类似地，让T''作为从T'中删除所有叶子时生成的树。T''有k+<=+j叶子。|4449792|通过归纳将该定理应用于T''，因此在T''中存在大小为(%7CT''%7C-k)/2+=+(%7CT%7C-i-j-k)/2的匹配。边集T-T'至少包含不与T''中的任何边关联或彼此不关联的j边(在T'中的每个叶中拾取一个关联)，因此添加这些边以在大小为(%7CT%7C-i%2Bj-k)/2的T中进行匹配。由于j+>=+k，这至少是(%7CT%7C-i)/2边。QED。|4449793|我已经用/2掩盖了地板/天花板的问题，但我怀疑如果你把它们包括进来，证据仍然有效。|4449794|entityMap^0|0|4|1|A|1|G|1|L|9|0|9|1|D|1|L|2|Q|1|14|2|17|6|1L|3|1R|2|26|3|2A|6|0|B|3|I|3|R|R|1O|4|1Y|3|2F|1|2J|2|3B|D|3P|1|3Y|6|49|9|0|0^^$0|@$1|2|3|4|5|6|7|P|8|@]|9|@]|A|$]]|$1|B|3|C|5|6|7|Q|8|@$D|R|E|S|F|G]|$D|T|E|U|F|G]|$D|V|E|W|F|G]|$D|X|E|Y|F|G]]|9|@]|A|$]]|$1|H|3|I|5|6|7|Z|8|@$D|10|E|11|F|G]|$D|12|E|13|F|G]|$D|14|E|15|F|G]|$D|16|E|17|F|G]|$D|18|E|19|F|G]|$D|1A|E|1B|F|G]|$D|1C|E|1D|F|G]|$D|1E|E|1F|F|G]|$D|1G|E|1H|F|G]|$D|1I|E|1J|F|G]]|9|@]|A|$]]|$1|J|3|K|5|6|7|1K|8|@$D|1L|E|1M|F|G]|$D|1N|E|1O|F|G]|$D|1P|E|1Q|F|G]|$D|1R|E|1S|F|G]|$D|1T|E|1U|F|G]|$D|1V|E|1W|F|G]|$D|1X|E|1Y|F|G]|$D|1Z|E|20|F|G]|$D|21|E|22|F|G]|$D|23|E|24|F|G]|$D|25|E|26|F|G]]|9|@]|A|$]]|$1|L|3|M|5|6|7|27|8|@]|9|@]|A|$]]|$1|N|3|-4|5|6|7|28|8|@]|9|@]|A|$]]]|O|$]]

Here's a proof.

Theorem: Let <code>T</code> be any tree with <code>i</code> leaves. There is a <code>(|T|-i)/2</code> matching in <code>T</code>.

Proof: by induction. If <code>T</code> is a tree with <code>i</code> leaves, let <code>T'</code> be the tree that results when removing all the leaves from <code>T</code>. <code>T'</code> has <code>j &lt;= i</code> leaves. Similarly, let <code>T''</code> be the tree that results when removing all the leaves from <code>T'</code>. <code>T''</code> has <code>k &lt;= j</code> leaves.

Apply the theorem by induction to <code>T''</code>, so there exists a matching of size <code>(|T''|-k)/2 = (|T|-i-j-k)/2</code> in <code>T''</code>. The set of edges <code>T-T'</code> contains at least <code>j</code> edges that are not incident to any edge in <code>T''</code> or to each other (pick one incident to each leaf in <code>T'</code>), so add those edges to make a matching in <code>T</code> of size <code>(|T|-i+j-k)/2</code>. Since <code>j &gt;= k</code>, this is at least <code>(|T|-i)/2</code> edges. QED.

I've glossed over the floor/ceiling issues with the /2, but I suspect the proof would still work if you included them.

After removing the leaves of the dfs tree of a random graph , suppose the number of edges left is |S|, can we prove that the matching for that graph will be |S|/2?

graph algorithm, approximation algorithm

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在去掉随机图的dfs树的叶子后，假设剩下的边数是|S|，我们能证明该图的匹配将是|S|/2吗？

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