为直线段末端的圆封口定义函数

Question

我需要一个在三维空间中返回圆上的点的函数。

圆应该“封顶”由点A和B及其半径定义的线段。每个封口都垂直于线段。并以其中一个端点为中心。

Here is a shitty diagram

Answer 1

设N是从A到B方向上的单位向量，即N= (B-A) /长度(A-B)。第一步是找到另外两个向量X和Y，使{N，X，Y}形成一个基数。这意味着你需要另外两个向量，这样所有的{N，X，Y}对都是彼此垂直的，并且它们都是单位向量。考虑这一点的另一种方法是，您希望创建一个新的坐标系，该坐标系的x轴与直线段对齐。您需要查找指向y轴和z轴方向的向量。

请注意，X和Y有无限多的选择。你只需要以某种方式找到两个可行的。

一种方法是首先找到向量{N，W，V}，其中N来自上面，W和V是(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)中的两个。为W和V选择对应于N的最小坐标的两个向量。因此，如果N= (.31，.95，0)，那么您可以为W和V选择(1,0,0)和(0,0,1) (数学极客注意:这种选择W和V的方法确保{N，W，V}跨越R^3)。然后将Gram-Schmidt process应用于{N，W，V}，以获得如上所述的向量{N，X，Y}。请注意，您需要将向量N作为第一个向量，这样它就不会被该过程更改。

所以现在你有了两个垂直于直线段和彼此垂直的向量。这意味着围绕A的圆上的点是X* cos t+Y* sin t+A，其中0 <= t<2* pi。这就像通常对二维中的圆的描述；它只是写在上面描述的新坐标系中。

Answer 2

正如David Norman所指出的，关键是找到两个与N正交的正交单位向量X，Y。然而，我认为计算这些向量的更简单的方法是通过找到将N映射到(1,0,0)的倍数的户主反射Q，然后将Q和Y下的(0,1,0)的图像作为X。虽然这听起来可能很复杂，但归结为：

S= (N > 0.0)？1.0：-1.0

T=N+ s；f= -1.0/(s*t)；

X= f*N1*t；X1 =1+ f*N1*N1；X2 = f*N1*N2；

Y= f*N2*t；Y1 = f*N1*N2；Y2 =1+ f*N2*N2；