需要3D旋转算法

Question

给定两个正交单位向量A和B以及两个不同的正交单位向量C和D，我需要3x3方向的余弦矩阵或一个四元数，它将旋转A以与C对齐，并将旋转B以与D对齐。

向量都是3向量(x，y，z)。

我有一个强力算法，但我几乎可以肯定有一个更简单的解决方案。我的网络搜索还没有找到一个。

我使用的是C#，但如果你有C、FORTRAN语言或Basic (等)语言的东西。我可以转换它。或者，我可以使用数学形式写出的术语。

该应用程序正在确定航天器所需的方向，以便将固定在其上的光学设备正确对准以拍照。(必须获得孔瞄准方向和光学装置围绕孔瞄准的适当旋转，因此需要一次对齐两个矢量。)该计算可用于由实时传感数据馈送的环路中，并且暴力解决方案太慢。

Answer 1

我重读了你的问题，下面的答案(虽然正确)并没有给你你想要的。这个链接是关于constructing a 3x3 rotation matrix的。

由于它们都是正交单位向量，您只需再添加一个来构造基数(使用叉积)。所以现在你有两个基数{A，B，AxB}和{C，D，CxD}。将{A，B}移动到{C，D}上的旋转将向量a1A + a2B + a3(AXB)重新表示为b1C + b2D + b3(CxD)。因为它是线性的，所以您只需要知道它在基础上的行为(这唯一地确定了线性变换)。因此，以{A，B，..}为基础，并假设变换为T，我们看到T(1，0，0) = C，T(0，1，0) =D和T(0，0，1) = CxD。记住A= (1，0，0)等，但这个矩阵的列只有M =(C，D，CxD)

要按原样使用这个矩阵，您必须在左乘以M之前表示基数{A，B，CxD}中的每个向量。您可以用相同的方法完成此操作。实际上，N是从你的正规基转换为{A，B，..}的矩阵，上面的M转换为{C，D...}，然后MN (这里的左乘法)将从你的基转换为{C，D，..}，并提供你想要的旋转。

现在，所有的向量都以{C，D，..}为基数表示:(

解决方案是另一个变换矩阵。这个函数从{A，B，..}映射到您的主基，并撤消N，也称为逆，表示为N^-1。所以你的最终矩阵是(N^-1)MN。好消息是，因为N是正交的，你只需要它的转置即可。

诀窍是选择你的主基，这样你处理最多的矩阵是漂亮的。

Answer 2

https://alleg.svn.sourceforge.net/svnroot/alleg/allegro_outdated/branches/allegro/src/math3d.c

底部的3d graphics....check out函数的代码几乎完整，从..开始。

get_align_matrix_f

这是同样的四元数..。

https://alleg.svn.sourceforge.net/svnroot/alleg/allegro_outdated/branches/allegro/src/quat.c

另外，在矩阵中，它可能不会给你提供从演员A到C的最短(或直接)路径，所以如果你正在制作视觉动画，最好使用quats。

Answer 3

考虑到航天器花费了数亿美元，你可能想找一个可以在睡梦中做这类事情的人，让他们用代码生成一个防弹和优化的解决方案，而不是依赖于这里的描述。(除非这只是一个练习。)

此外，你选择的解决方案应该在很大程度上取决于航天器上可用的推进器；你希望旋转使用尽可能少的燃料，这将取决于它们对航天器的本质作用。我假设你已经设置了这个问题，使一个旋转轴围绕z轴；，你也可以围绕x和y独立旋转吗，或者你只有一个轴？是否某些旋转比其他旋转更昂贵(例如，由于沿某些轴的惯性矩不同)？

考虑到这些警告，我很犹豫是否给出这样的建议:查找(A X C)，将A移动到C并旋转所需的旋转轴(请参阅维基百科了解沿轴的旋转)。然后计算出这对B有什么影响(通过将旋转矩阵乘以B)，并计算B和D之间的角度；最后，沿着(B X D)轴旋转--此时最好与C轴相同--以修复差异(给出另一个旋转矩阵)。将两个矩阵相乘，看，你就完成了。