在3D中给定N个点时，如何创建三次bezier曲线？

Question

因此，当只知道曲线上的点时，我需要找出三次bezier曲线的控制点在哪里，这些点可以位于3D中。如果我可以对曲线上的任意数量的点执行此操作，那将是最理想的。我发现的大多数都只涉及2D，或者只有4个点。

Answer 1

让我看看我是否理解了:你想要一条插值Bezier曲线，通过一组给定的点P0 P1 ...

但绘制为Bezier曲线，函数如下

bezier4( nstep, Pj, Cj, Dj, Pj+1 )  -- control points Cj, Dj

也就是说，你想为每一块Pj导出两个贝塞尔控制点Cj，Dj - Pj+1？

导出此类控制点的一种方法是使用伯恩斯坦多项式基。

b0(t) = (1-t)^3
b1(t) = 3 (1-t)^2 t,
b2(t) = 3 (1-t) t^2
b3(t) = t^3

bezier4(t) = b0(t) P0  +  b1(t) C0  +  b2(t) D0  +  b3(t) P1
= P0 at t=0, tangent --> C0
= P1 at t=1,  tangent <-- D0

并查找或推导出通过P-1 P0 P1 P2的插值又称Catmull-Rom样条：

b0(t) P0
+ b1(t) (P0 + (P1 - P-1) / 6)
+ b2(t) (P1 - (P2 - P0) / 6)
+ b3(t) P1
= P0 at t=0, P1 at t=1

我们希望bezier4(t)与CatmullRom(t)是完全相同的曲线，因此：

C0 = P0 + (P1 - P-1) / 6
D0 = P1 - (P2 - P0) / 6

给定N个点P0 P1 ...(在2d 3d中...anyd)，一次取4个；对于每4个，该公式给出2个控制点Cj，Dj

bezier4( nstep, Pj, Cj, Dj, Pj+1 )

这有意义吗，这是你想要的吗？

(作为奖励，我会拼凑一些Python / numpy。)