WolframAlpha:解决多个函数

Question

我正在尝试使用WolframAlpha来求解一个变量。

我有过

u(k, r) = (900-3k)r^(k-1)

和

s(n, r) = sum u(k, r), k=1 to n

我想用r来解决r

s(5000, r) = -600000000000

我试过各种咒语，但似乎不能让它起作用。我甚至不能定义s来评估它。

如果你关心这个问题，那就是解决这个问题：http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=235

Answer 1

WARNING:下面的剧透！你应该在你用u(k，r)替换s(n，r)的表达式后，让WA FullSimplify s(n，r)表达式。它应该给出

(3 (299 - 300 r + r^n (-299 + n + 300 r - n r)))/(-1 + r)^2

求解最终的等式就是找到(高次)多项式的根：

299 + 200000000000 (-1 + r)^2 + (4701 - 4700 r) r^5000 == 300 r

因为r != 1是原始表达式的一个极点。请注意，r必须是正的，以便正二次项被高次项否定。绘制函数图显示它对r < 1是正的，对r >~ 1是负的，所以解决方案在r=1之后的某个地方。现在更改变量，以便在x=0附近查看x = r-1和

200000000000 x^2 + (1 + x)^5000 (1 - 4700 x) - 1 - 300 x == 0

这应该是有启发性的：

Plot[200000000000 x^2 + (1 + x)^5000 (1 - 4700 x) - 1 - 300 x, {x, 0, 0.003}]

使用带有良好猜测的FindRoot可以得到x=0.002322108633或r=1.002322108633。

后面是WA命令。首先，我使用

FullSimplify[Sum[(900-3k)r^(k-1),{k,1,n]]

然后，您必须重新键入它输出的表达式：

Plot[(3 (299 - 300 r + r^5000 (-299 + 5000 + 300 r - 5000 r)))/(-1 + r)^2 + 6000000000,{r,-2,2}]

此时，我手动将r替换为x+1：

Plot[200000000000 x^2 + (1 + x)^5000 (1 - 4700 x) - 1 - 300 x, {x, 0, 0.003}]

和根的求解：

FindRoot[200000000000 x^2 + (1 + x)^5000 (1 - 4700 x) - 1 - 300 x, {x, 0.0023}]

这并不能提供足够的精确度，而且这也是你只能使用WA.您可以尝试减去WA提供给您的前几位数字，然后使用y=x+ 0.00232211进行另一次替换，以获得接下来的几位数字，但这对我来说太乏味了。