如何在Matlab中使用最小二乘法？

Question

我有37个线性方程和36个变量，以矩阵方程的形式存在；A*X=B。这些方程没有确切的答案。我想用Matlab最小二乘法求出误差最小的解。我是Matlab的新手，所以任何评论都会有所帮助。谢谢

Answer 1

如果A是满秩的，即A的列是线性独立的，则超定线性方程组的最小二乘解

A * x = b

可以通过反转法线方程来找到(参见Linear Least Squares

x = inv(A' * A) * A' * b

如果A不是满秩的，则A' * A是不可逆的。相反，可以使用A的pseudoinverse

x = pinv(A) * b

或Matlab的left-division运算符

x = A \ b

这两种方法都给出了相同的解决方案，但左除法的计算效率更高。

后两种计算方法也可以处理_under_determined线性方程组，但它们在这种情况下给出了不同的解决方案:伪逆给出了x具有最小平方和的解，而左除运算符给出了具有尽可能多的0系数的解。

Answer 2

解决这个问题的最普遍的方法是使用伪逆：

X = pinv(A) * B;

Answer 3

您可以通过以下方式计算x：

x = (A'*A)\A'*B