OpenGL NURBS曲面

Question

我正在学习OpenGL，我想得到一个中间略有隆起的表面。我目前正在使用这段代码，我不确定如何调整ctrl点，使其成为我想要的方式。它目前类似于

​

​

我希望是这样的：

​

​

我不完全确定我应该使用什么控制点，并且我对它的工作方式感到困惑。

#include <stdlib.h>
#include <GLUT/glut.h>

GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
   {{-1.5, -1.5, 4.0}, {-0.5, -1.5, 2.0}, 
    {0.5, -1.5, -1.0}, {1.5, -1.5, 2.0}}, 
   {{-1.5, -0.5, 1.0}, {-0.5, -0.5, 3.0}, 
    {0.5, -0.5, 0.0}, {1.5, -0.5, -1.0}}, 
   {{-1.5, 0.5, 4.0}, {-0.5, 0.5, 0.0}, 
    {0.5, 0.5, 3.0}, {1.5, 0.5, 4.0}}, 
   {{-1.5, 1.5, -2.0}, {-0.5, 1.5, -2.0}, 
    {0.5, 1.5, 0.0}, {1.5, 1.5, -1.0}}
};

void display(void)
{
   int i, j;

   glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
   glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
   glPushMatrix ();
   glRotatef(85.0, 1.0, 1.0, 1.0);
   for (j = 0; j <= 8; j++) {
      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      for (i = 0; i <= 30; i++)
         glEvalCoord2f((GLfloat)i/30.0, (GLfloat)j/8.0);
      glEnd();
      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      for (i = 0; i <= 30; i++)
         glEvalCoord2f((GLfloat)j/8.0, (GLfloat)i/30.0);
      glEnd();
   }
   glPopMatrix ();
   glFlush();
}

void init(void)
{
   glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
   glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4,
           0, 1, 12, 4, &ctrlpoints[0][0][0]);
   glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
   glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.0, 1.0);
   glEnable(GL_DEPTH_TEST);
   glShadeModel(GL_FLAT);
}
void reshape(int w, int h)
{
   glViewport(0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);
   glMatrixMode(GL_PROJECTION);
   glLoadIdentity();
   if (w <= h)
      glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, 
               5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);
   else
      glOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, 
               5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
   glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
   glLoadIdentity();
}

int main(int argc, char** argv)
{
   glutInit(&argc, argv);
   glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
   glutInitWindowSize (500, 500);
   glutInitWindowPosition (100, 100);
   glutCreateWindow (argv[0]);
   init ();
   glutDisplayFunc(display);
   glutReshapeFunc(reshape);
   glutMainLoop();
   return 0;
}

Answer 1

编辑：我以为你是在实验，但我看到代码来自the OpenGL tutorial。我浏览了一下，现在明白你的意思了。很难从那里学到基础知识。

NURBS背景

掌握NURBS的最好方法是以交互方式使用它。然后，您将获得关于边定义点(在边上)、形状定义点(彼此)、它们之间的切线关系和连续性的直观信息。NURBS可以由补丁组成，在边缘缝合在一起，连续性是高度可控的-也就是说，你可以为汽车的主体要求G3或为便宜的游戏模型要求C1。从任何描述中都很难理解这个概念。如果你想这样做，我强烈建议你试用Rhino Nurbs Modeller。我几年前就用过了，现在它似乎被废弃了，但它仍然是支持NURBS最好的软件之一(Autodesk 3d Studio MAX和MAYA的支持更差)。不过，这可能有点耗时，对于初学者，我建议使用一些更简单的东西；从"Simple Bezier Curve Editor" page中获取applet来旋转一下。

要理解NURBS，咨询Wikipedia Article about Bezier Curves也很好。一旦掌握了点位置和最终曲线形状之间的关系，就可以很容易地将其推广到曲面上。我发现这个动画非常直观：

​

​

您可以将示例中的曲面想象为一组四条曲线，其中一条布料横跨在这些曲线上。使用我之前链接的applet，您可以操作位置并获得对结果形状的即时反馈。请注意t参数-它是沿曲线的坐标，范围为0，1。根据惯例，NURBS曲面有两个坐标，分别称为u和v (这对于绘图函数很重要)。

因此，代码中的ctrlpoints结构包含所有点坐标。为了简单起见，这是四条三次Bezier曲线(动画中的曲线)。对于每条曲线，你在3个维度内有4个点。如果忽略Y轴，则它们都位于栅格上，其中X和Z分别为：-1.5、-1.0、1.0、1.5。这解释了总共32个值(X的4x4加上Z的4x4)。

其余的是高度，Y值。在本例中，它是ctrlpoints中每个点的第二个值。要获得预期的结果，您可以使所有Y值在边缘(外部)相等，并在中间(内部4)略微升高。你会得到：

​

​

用于渲染上述图像的点：

GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
 {{-1.5, 1.0, -1.5},  {-0.5, 1.0,-1.5 }, {0.5, 1.0, -1.5 },   {1.5, 1.0,-1.5}}, 
 {{-1.5, 1.0, -0.5},  {-0.5, 2.0,-0.5 }, {0.5, 2.0, -0.5 },   {1.5, 1.0,-0.5}}, 
 {{-1.5, 1.0,  0.5},  {-0.5, 2.0, 0.5 }, {0.5, 2.0,  0.5 },   {1.5, 1.0, 0.5}}, 
 {{-1.5, 1.0,  1.5},  {-0.5, 1.0, 1.5 }, {0.5, 1.0,  1.5 },   {1.5, 1.0, 1.5}}
};
//        ^                   ^                 ^                    ^
//        |                   |                 |                    |
//        |                   |                 |                    |
//        \_________ Those are most relevant - Y-coord, height ______/

使用GLUT的OpenGL中的NURBS - API演练

我发现OpenGL应用程序接口隐藏了非常相关的细节。NURBS曲面使用Evaluator绘制，并使用Map函数定义。

您应该在init(void)函数中定义控制点，如下所示：

glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4,
           0, 1, 12, 4, &ctrlpoints[0][0][0]);

很好的函数解释可以在on the MSDN Site for glMap2f中找到。我们正在传递控制点、它们的类型以及数组步长和顺序等细节。

您可以使用Evaluator函数绘制它。它接受两个坐标作为参数，并返回3d空间中的一个点。这些输入坐标就是我之前在动画中提到的u和v。在我们的示例中：

      glBegin(GL_LINE_STRIP); // we'll draw a line

      // take 31 samples of a cross-section of the surface
      for (i = 0; i <= 30; i++)
         // for each sample, evaluate a 3d point
         glEvalCoord2f((GLfloat)i/30.0, (GLfloat)j/8.0);

         // notice j is constant in the loop here, but
         // is being changed by the outer loop.
         //
         // j is iterated in 9 steps, so we'll end up
         // with 9 lines
      glEnd();

我故意省略了外部循环，如下所示：

   // we want 9 lines
   for (j = 0; j <= 8; j++) {
      // OpenGL state machine will be used to draw lines

      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      // inner loop for j-th line along X

      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      // inner loop for j-th line along Z

      glEnd(); // done with the lines
   }

工作示例

#include <stdlib.h>
#include <GL/glut.h>

GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
 {{-1.5, 1.0, -1.5}, {-0.5, 1.0,-1.5 }, {0.5, 1.0, -1.5 }, {1.5, 1.0,-1.5}}, 
 {{-1.5, 1.0, -0.5}, {-0.5, 2.0,-0.5 }, {0.5, 2.0, -0.5 }, {1.5, 1.0,-0.5}}, 
 {{-1.5, 1.0,  0.5}, {-0.5, 2.0, 0.5 }, {0.5, 2.0,  0.5 }, {1.5, 1.0, 0.5}}, 
 {{-1.5, 1.0,  1.5}, {-0.5, 1.0, 1.5 }, {0.5, 1.0,  1.5 }, {1.5, 1.0, 1.5}}
};

void display(void)
{
   int i, j;

   glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
   glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
   glPushMatrix();
   glRotatef(25.0, 1.0, 1.0, 1.0);
   for (j = 0; j <= 8; j++) {
      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      for (i = 0; i <= 30; i++)
         glEvalCoord2f((GLfloat)i/30.0, (GLfloat)j/8.0);
      glEnd();
      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      for (i = 0; i <= 30; i++)
         glEvalCoord2f((GLfloat)j/8.0, (GLfloat)i/30.0);
      glEnd();
   }
   glPopMatrix();
   glFlush();
}

void init(void)
{
   glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
   glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4,
           0, 1, 12, 4, &ctrlpoints[0][0][0]);
   glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
   glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.0, 1.0);
   glEnable(GL_DEPTH_TEST);
   glShadeModel(GL_FLAT);
}

void reshape(int w, int h)
{
   glViewport(0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);
   glMatrixMode(GL_PROJECTION);
   glLoadIdentity();
   if (w <= h)
      glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, 
               5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);
   else
      glOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, 
               5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
   glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
   glLoadIdentity();
}

int main(int argc, char** argv)
{
   glutInit(&argc, argv);
   glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
   glutInitWindowSize(500, 500);
   glutInitWindowPosition(100, 100);
   glutCreateWindow(argv[0]);
   init();
   glutDisplayFunc(display);
   glutReshapeFunc(reshape);
   glutMainLoop();
   return 0;
}

Answer 2

尽管Rekin的完备性和表达方式很难与之匹敌，但还是有一些事情需要澄清：

NURBS中的'R‘代表有理。这需要使用齐次坐标，其中每个控制点x，y，z都被指定了1/w的权重，该权重将用于划分所有其他元素，使NURBS控制点真正具有四个元素的向量。通过这第四个元素，我们可以用NURBS精确地表示圆、torii和球体，而对于常规的bezier曲线或样条曲线，我们只能近似表示圆。

幸运的是，使用openGL，人们至少很快就会熟悉元素w的用法，这最终会导致理解。(或者是错觉……)。

如果使用真实的NURBS建模器，则需要同时导入第四个组件，除非将建模器编程为仅导出由3个元素向量表示的非有理曲面近似。