向量的数值导数

Question

我有一个问题，一个向量的数值导数是x: Nx1相对于另一个与x大小相同的向量t(时间)。我做了以下操作(例如，x被选为正弦函数)：

t=t0:ts:tf;
x=sin(t);
xd=diff(x)/ts;

但答案xd是(N-1)x1，我发现它不会计算与x的第一个元素对应的导数。

有没有其他方法来计算这个导数？

Answer 1

我假设您正在寻找数值。

t0 = 0;
ts = pi/10;
tf = 2*pi;

t  = t0:ts:tf;
x  = sin(t);
dx = gradient(x)/ts

这个函数的用途不同(向量场)，但它提供了diff没有的东西:长度相等的输入和输出向量。

gradient计算数据点之间的中心差异。对于每行有N个值的数组、矩阵或向量，第i个值由下式定义

​

​

端点的渐变，其中i=1和i=N是通过端点值与行中下一个邻接值之间的单边差来计算的。如果指定了两个或多个输出，则梯度还会计算沿其他维度的中心差。与diff函数不同，gradient返回的数组的元素数与输入的元素数相同。

Answer 2

我知道我在这里有点晚了，但是你也可以通过取遍历数据的多项式(三次)样条的导数来获得数值导数的近似值：

function dy = splineDerivative(x,y)

% the spline has continuous first and second derivatives
pp = spline(x,y); % could also use pp = pchip(x,y);

[breaks,coefs,K,r,d] = unmkpp(pp);
% pre-allocate the coefficient vector
dCoeff = zeroes(K,r-1);

% Columns are ordered from highest to lowest power. Both spline and pchip
% return 4xn matrices, ordered from 3rd to zeroth power. (Thanks to the
% anonymous person who suggested this edit).
dCoeff(:, 1) = 3 * coefs(:, 1); % d(ax^3)/dx = 3ax^2;
dCoeff(:, 2) = 2 * coefs(:, 2); % d(ax^2)/dx = 2ax;
dCoeff(:, 3) = 1 * coefs(:, 3); % d(ax^1)/dx = a;

dpp = mkpp(breaks,dCoeff,d);

dy = ppval(dpp,x);

spline多项式总是保证在每个点都有连续的一阶和二阶导数。我还没有将其与使用pchip而不是spline进行测试和比较，但这可能是另一种选择，因为它在每个点都有连续的一阶导数(但不是二阶导数)。

这样做的好处是，没有要求步长是均匀的。

Answer 3

有一些选项可以解决您的问题。

首先:你可以让你的域名变得更大。使用N+1网格点而不是N。

第二:根据感兴趣的端点，您可以使用

正向差分：F(x + dx) - F(x)

• Backward difference：F(x) - F(x - dx)

1. Forward difference