Matlab，运算符A\B

Question

运算A\B的结果是什么，其中A(1，m)和B (1，m)？

在手册中写道：

A\B returns a least-squares solution to the system of equations A*x= B.

所以它意味着x= inv (A'*A)*A'*B？然而，矩阵A'*A是奇异的.

让我们假设：

A=[1 2 3]
B=[6 7 6]
A\B

0         0         0
0         0         0
2.0000    2.3333    2.0000

如果我们使用MLS：

C = inv (A'*A)   singular matrix
C = pinv(A'*A)

0.0051    0.0102    0.0153
0.0102    0.0204    0.0306
0.0153    0.0306    0.0459

D= C*A'*B

0.4286    0.5000    0.4286
0.8571    1.0000    0.8571
1.2857    1.5000    1.2857

所以结果A\B和inv (A'*A)*A'*B是不同的...

Answer 1

我的MATLAB (R2010b)很好地说明了A\B的作用：

mldivide(A,B)和等效的A\B执行矩阵左除(反斜杠)。A和B必须是行数相同的矩阵，除非A是标量，在这种情况下，A\B执行元素除法，即A\B = A.\B。

如果A是一个方阵，则A\B与inv(A)*B大致相同，只是计算方式不同。如果A是n-by-n矩阵，B是具有n元素的列向量，或者是具有多个这样的列的矩阵，则X = A\B是等式AX = B的解。如果A缩放不佳或接近单一，则会显示一条警告消息。

如果A是具有m ~= n的m-by-n矩阵，并且B是具有m分量的列向量，或者是具有多个这样的列的矩阵，则X = A\B是欠定或超定方程组AX = B在最小二乘意义下的解。换句话说，X最小化了norm(A*X - B)，也就是向量AX - B的长度。A的秩k是由列旋转的QR分解确定的。计算解决方案X每列最多有k个非零元素。如果为k < n，则这通常与返回最小二乘解的x = pinv(A)*B不同。

mrdivide(B,A)和等效的B/A执行矩阵右除(正斜杠)。B和A必须具有相同的列数。

如果A是一个方阵，那么B/A与B*inv(A)大致相同。如果A是n- by -n矩阵，B是具有n元素的行向量，或者是具有几个这样的行的矩阵，则X = B/A是通过部分旋转高斯消元法计算的方程XA = B的解。如果A缩放不佳或接近单一，则会显示一条警告消息。

如果B是具有m ~= n的m-by-n矩阵，并且A是具有m分量的列向量，或者是具有几个这样的列的矩阵，则X = B/A是欠定或超定方程组XA = B的最小二乘意义上的解。

Answer 2

x = inv (A'*A)*A'*B适用于过度确定的系统(即，将A作为带有n>m的n x m矩阵；在这些情况下，A'A是可逆的)。

在你的例子中，你有一个不确定的系统。

那么，会发生什么呢？

我的意见，虽然你可以检查，至少在你的情况下：

当你这样做时，A\B解决了反向意义上的优化问题w.r.t。通常的最小二乘，即

 X = argmin_{X \in S} ||X||,

其中S是一组解决方案。换句话说，它给出了系统具有最小L^2范数的解。(考虑到您可以手动处理问题，至少在您的情况下是这样)。