矩阵求逆的MatLab算法

Question

我正在尝试用MatLab写一个算法，它接受一个下三角矩阵作为输入。输出应该是这个矩阵的逆(也应该是下三角形式)。我几乎已经解决了这个问题，但我的算法中有一部分仍然让我摸不着头脑。到目前为止，我有：

function AI = inverse(A)
n = length(A);
I = eye(n);
AI = zeros(n);
for k = 1:n
    AI(k,k) = (I(k,k) - A(k,1:(k-1))*AI(1:(k-1),k))/A(k,k);
    for i = k+1:n
        AI(i,k) = (I(i,k) - (??????????????))/A(i,i);
    end
end

我已经用问号标记了我不确定的部分。我试图通过在纸上写出过程来为这部分代码找到一种模式，但我似乎就是找不到解决这一部分的适当方法。

如果有人能帮助我，我将不胜感激！

Answer 1

下面是我使用行变换求下三角矩阵的逆矩阵的代码：

function AI = inverse(A)
    len = length(A);
    I  = eye(len);
    M  = [A I];
    for row = 1:len
        M(row,:) = M(row,:)/M(row,row);
        for idx = 1:row-1
            M(row,:) = M(row,:) - M(idx,:)*M(row,idx);
        end
    end
    AI = M(:,len+1:end);
end

Answer 2

你可以看到它是如何在Octave's source上完成的。根据矩阵的类别，这似乎是在不同的地方实现的。对于浮点类型的对角矩阵，它在liboctave/array/fDiagMatrix.cc上，对于复杂的对角矩阵，它在liboctave/array/CDiagMatrix.cc上，依此类推。

自由(就像在自由软件中一样)的一个优点是，你可以自由地研究事物是如何实现的;)

Answer 3

感谢您的所有投入！考虑到输入是一个下三角矩阵，我今天实际上找到了一个非常好的和简单的方法来解决这个问题：

function AI = inverse(A)
n = length(A);
I = eye(n);
AI = zeros(n);
for k = 1:n
    for i = 1:n
        AI(k,i) = (I(k,i) - A(k,1:(k-1))*AI(1:(k-1),i))/A(k,k);
    end
end