如何用二进制表示浮点数。IEEE

Question

与十进制类似，二进制数也可以表示浮点数。现在我读到它可以有这种类型的浮点

0.50.1，0.250.01，0.1250.001 ...诸若此类。但是，例如，0.1(十进制)是如何用二进制表示的呢？

此外，给定一个十进制浮点数，如何将其转换为十进制等效值(假设它不是那么简单)。

编辑:所以我理解更好的问题应该是:如何将十进制浮点数转换为二进制？现在我明白了，我们把小数部分相乘，直到它变成零。现在很有可能两个浮点可以有相同的表示，对吧？

Answer 1

给定多少位？

0.1亿：

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011...

如你所见，这是一个近似值。

Binary                                          Decimal
0.1     == 1/2^1         == 1/2              == 0.5
0.01    == 1/2^2         == 1/4              == 0.25
0.11    == 1/2^1 + 1/2^2 == 1/2 + 1/4 == 3/4 == 0.75

radix point之后的每一位代表1/2^(position_after_bit_string)。

postion:   |1|2|3|4|5|6|7|
         0.|0|0|0|0|0|0|1|

所以0.0000001 = 1/2^7 = 0.0078125

伪码：

decimal_value = 0 
for i, bit in enumerate(binary_string):
    if bit == 1
         decimal_value += 1/2**i

有关更多信息，请访问Why can't decimal numbers be represented exactly in binary?

Answer 2

另一个可能有帮助的观察结果。浮点数的“整数部分”以其“正常”形式存在于二进制中，例如，如果值为25.7482，则浮点数中的位“11001”(25)，后面的位表示小数(实际上第一个“1”从不存储，它隐含在格式中)。如果你从这个数字中减去25.0，再乘以10，得到7.482，通过检查这个值的整数部分，你可以得到第一个小数位'7‘。

减去7.0，乘以10得到4.82，因此下一个数字是'4'，依此类推。从理论上讲，这个过程最终将以零结果结束，因为所有可以用浮点格式精确表示的值都具有精确的小数表示；然而，由于原始浮点的精度，“精确”结果的位数可能远远超过实际合理的位数(而且您可能需要内部额外的精度才能获得完全精确的结果--您需要确保乘以10不会产生舍入误差)。

而且，对于像6.432e-200这样的数字，这种方法是可行的，但效率不是很高(在第一个'6‘出现之前，你会生成199个零)。