计算和绘制向量场

Question

我正在尝试使用以下公式为给定的对象绘制一个势场：

U=-α_goal*e^(-((x-x_goal )^2/a_goal +(y-y_goal^2)/b_goal ) )

使用以下代码

    # Set limits and number of points in grid
    xmax = 10.0
    xmin = -xmax
    NX = 20
    ymax = 10.0
    ymin = -ymax
    NY = 20
    # Make grid and calculate vector components
    x = linspace(xmin, xmax, NX)
    y = linspace(ymin, ymax, NY)
    X, Y = meshgrid(x, y)
    x_obstacle = 0
    y_obstacle = 0
    alpha_obstacle = 1
    a_obstacle = 1
    b_obstacle = 1
    P = -alpha_obstacle * exp(-(X - x_obstacle)**2 / a_obstacle + (Y - y_obstacle)**2 / b_obstacle)
    Ey,Ex = gradient(P)
    print Ey
    print Ex

    QP = quiver(X, Y, Ex, Ey)

    show()

这段代码计算了一个势场。我怎样才能很好地绘制这个势场呢？另外，给定一个势场，将其转换为向量场的最佳方法是什么？(矢量场是势场的负梯度。)

如果有任何帮助，我将不胜感激。

我尝试过使用np.gradient()，但结果并不是我所期望的：

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我所期望的，是这样的东西：

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编辑:更改代码中的两行后：

y, x = np.mgrid[500:-100:200j, 1000:-100:200j] 
p = -1 * np.exp(-((x - 893.6)**2 / 1000 + (y - 417.35)**2 / 1000))

我有一个错误的图:它似乎是左右颠倒的(箭头似乎在正确的位置，但不是在领域中)：

编辑:通过更改为y, x = np.mgrid[500:-100:200j, -100:1000:200j]进行了修复。您知道为什么吗？

Answer 1

首先，让我们在一个规则的网格上评估它，类似于您的示例代码。(顺便说一句，计算公式的代码中有一个错误。它在exp中缺少负值。)：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set limits and number of points in grid
y, x = np.mgrid[10:-10:100j, 10:-10:100j]

x_obstacle, y_obstacle = 0.0, 0.0
alpha_obstacle, a_obstacle, b_obstacle = 1.0, 1e3, 2e3

p = -alpha_obstacle * np.exp(-((x - x_obstacle)**2 / a_obstacle
                               + (y - y_obstacle)**2 / b_obstacle))

接下来，我们需要计算梯度(这是一个简单的有限差分，而不是解析地计算上面函数的导数)：

# For the absolute values of "dx" and "dy" to mean anything, we'll need to
# specify the "cellsize" of our grid.  For purely visual purposes, though,
# we could get away with just "dy, dx = np.gradient(p)".
dy, dx = np.gradient(p, np.diff(y[:2, 0]), np.diff(x[0, :2]))

现在我们可以做一个“箭图”，然而，结果可能并不完全是你所期望的，因为网格上的每个点都会显示一个箭头：

fig, ax = plt.subplots()
ax.quiver(x, y, dx, dy, p)
ax.set(aspect=1, title='Quiver Plot')
plt.show()

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让我们把箭头做大一点。最简单的方法是绘制每个第n个箭头，并让matplotlib处理自动缩放。我们将在这里使用每3个点。如果想要更少、更大的箭头，请将3更改为更大的整数。

# Every 3rd point in each direction.
skip = (slice(None, None, 3), slice(None, None, 3))

fig, ax = plt.subplots()
ax.quiver(x[skip], y[skip], dx[skip], dy[skip], p[skip])
ax.set(aspect=1, title='Quiver Plot')
plt.show()

​

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好多了，但那些箭头还是很难看得见。一种更好的可视化方法可能是使用覆盖了黑色渐变箭头的图像绘图：

skip = (slice(None, None, 3), slice(None, None, 3))

fig, ax = plt.subplots()
im = ax.imshow(p, extent=[x.min(), x.max(), y.min(), y.max()])
ax.quiver(x[skip], y[skip], dx[skip], dy[skip])

fig.colorbar(im)
ax.set(aspect=1, title='Quiver Plot')
plt.show()

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​

理想情况下，我们希望使用不同的色彩映射表或更改箭头颜色。我会把那部分留给你。您还可以考虑等高线图(ax.contour(x, y, p))或流线图(ax.streamplot(x, y, dx, dy)。我只想简单地举个例子：

fig, ax = plt.subplots()

ax.streamplot(x, y, dx, dy, color=p, density=0.5, cmap='gist_earth')

cont = ax.contour(x, y, p, cmap='gist_earth')
ax.clabel(cont)

ax.set(aspect=1, title='Streamplot with contours')
plt.show()

​

​

...And只是为了变得更花哨：

from matplotlib.patheffects import withStroke

fig, ax = plt.subplots()

ax.streamplot(x, y, dx, dy, linewidth=500*np.hypot(dx, dy),
              color=p, density=1.2, cmap='gist_earth')

cont = ax.contour(x, y, p, cmap='gist_earth', vmin=p.min(), vmax=p.max())
labels = ax.clabel(cont)

plt.setp(labels, path_effects=[withStroke(linewidth=8, foreground='w')])

ax.set(aspect=1, title='Streamplot with contours')
plt.show()

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