计算二维和三维网格中的量的导数

Question

我是游戏物理学的新手。我有一个问题，我有一个二维或三维网格。计算单元分别为三角形或四面体。某些物理量，如密度和能量，在细胞中心以细胞为中心的平均值给出。我需要在网格中所有单元的中心计算这些量的梯度。

我知道在1D中，单元格(i)中的量的导数可以通过将相邻单元格(i+1，i-1)中该量的值的差除以它们之间的距离(中心差分公式)来计算。我不明白的是在任意的2D或3D网格上解决这个问题？

我可以参考一些文献，在那里我可以得到这样的数值方法/算法吗？

提前谢谢。

Answer 1

在考虑网格上的微分运算符时，This paper是一个很好的起点。它没有进入体积网格(如果我记得的话)，但这是一个很好的开始。特别是，本文提出了一种合理的选择，从离散微分几何观点(DDG)的顶点分配梯度，您可以使用重心坐标来计算小平面内部的梯度场。

Answer 2

多元函数的导数是一个向量。为了简单起见，让我们假设我们正在处理一个2d网格，那么导数就是一个2d向量。为了进一步简化，让我们取位置(x，y)=(0,0)处的导数。要开始，您必须识别所有相邻的单元格，它们的中心为(x1，y1)，(x2，y2)...和values z1，z2，...。您也可以根据距离为每个单元格分配一个(非负)权重，例如wk=(d*d - xk*xk - yk*yk) d这里要考虑的相邻单元格的最大距离。然后使用线性回归近似所有这些相邻的值：z = vx*x+vy*y + z0。通过最小二乘回归得到vx，vy，z0的值：

最小化Sum_kwk * (zk - vx*xk - vy*yk - z0)^2

其中索引k遍历所有邻居。向量(vx，vy)是您要查找的导数。

Answer 3

网格中多边形的导数是多边形的平面，如果你需要更细粒度的，那么可以用几种不同的方法，你可以通过平均和加权相邻的多边形来估计它。