解决圆-圆碰撞

Question

我正在编写扩展Circle-Rectangle collision detection (intersection)以包含对冲突的响应的软件。圆形边和圆形矩形是相当简单的。但是circle-circle把我难倒了。

例如，在离散事件模拟中，假设两个圆发生碰撞，一个是红色的，一个是绿色的。我们可能会遇到以下情况：

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在它们相撞后，我们可以立即得到：

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这里，RIP和GIP是前一个时钟节拍时圆圈的位置。在当前时钟节拍，在RDP和GDP处检测到冲突。然而，当两个圆在RCP和GCP时，时钟节拍之间发生冲突。在时钟滴答处，红色圆圈向下移动RVy，向右移动RVx；绿色圆圈向下移动GVy，向左移动GVx。RVy不等于GVy；RVx也不等于GVx。

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当圆心之间的距离小于或等于圆的半径之和时，即上图中的d <= ( Rr + Gr )，就会发生碰撞。在d<( Rr + Gr )的碰撞中，我们需要在调整圆的速度分量之前将DPs定位回CPs。在d == ( Rr + Gr )的情况下，由于DP在CP处，因此不需要重新定位。

这就是问题所在:我如何才能回到CPs。一些作者建议应用下图中p所给出的渗透率的一半。

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对我来说，这是完全错误的。它假设两个圆的速度矢量相等，但在本例中并非如此。我认为穿透力与计算有关，但我无法理解。我知道这个问题可以被重塑为一个直角相似三角形的问题，在这个问题中，我们想要为Gcdy和GCdx解决。

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碰撞本身将被建模为弹性的，并且惯性交换的数学已经就位。唯一的问题是在碰撞时将圆放置在哪里。

Answer 1

“这就是问题所在:我该如何采取行动。”

您可能想知道如何“在调整圆的速度分量之前将DPs重新定位到CPs”。

因此有两个问题，如何确定CPs (碰撞发生的位置)以及如何从该点调整圆的运动。第一部分有一个相当简单的解决方案(允许不同的半径和速度分量)，但第二部分取决于是否对弹性或非弹性响应进行建模。在你写的评论中：

碰撞将被建模为弹性。惯性交换的数学已经就位了。问题是在哪里放置圆圈。

假设我将只解决第一个问题，解决碰撞发生的确切位置。假设两个圆的匀速运动，知道碰撞发生的确切时间就足够了，也就是说，什么时候两个圆的中心之间的距离等于它们的半径之和。

在匀速运动下，一个圆圈(红色)的速度减去另一个圆圈(绿色)的速度，就可以认为它是静止不动的。实际上，我们将第一个圆的中心视为固定的，并且只认为第二个圆处于(匀速)运动中。

现在，通过求解一个二次方程就可以找到碰撞的确切时间。设V= (GVx-RVx，GVy-RVy)为圆的相对运动，P= (GIPx-RIPx，GIPy-RIPy)圆在碰撞前的瞬间的相对位置。我们通过定义以下内容来“动画”相对位置P的线性路径：

P(t) =P+ t*V

并询问这条直线何时与半径Rr+Gr原点周围的圆相交，或者何时相交：

(Px + t*Vx)^2 + (Py + t*Vy)^2 = (Rr + Gr)^2

这是一个未知时间t的二次方程，涉及到的所有其他量都是已知的。在这种情况下(碰撞发生在位置CP或之前)将存在一个正实解(通常有两个解，一个在CP之前，一个在CP之后，但可能是一个掠过接触，给出一个“双根”)。你想要的解决方案(根)t是较早的那个，其中t(在“瞬间”RIP，GIP位置为零)较小。

Answer 2

如果你正在寻找圆形物体非弹性碰撞的基本参考资料，Joe van den Heuvel和Miles Jackson的Pool Hall Lessons: Fast, Accurate Collision Detection Between Circles or Spheres是非常容易理解的。

从最不正式到最正式，这里有一些关于实现编程工艺的后续参考，这些编程支撑了您的问题的解决方案(碰撞响应)。

The Physics in Games - Real-Time Simulation Explained

• Chris Hecker，Physics, Part 3: Collision Response，
• Physics, Part 3: Collision Response，
• David Baraff，Physically Based Modeling: Principles and Practice，在线Siggraph '97课程笔记，特别相关的是rigid simulations.

的幻灯片

你必须接受一些近似值- Beckman在视频中演示了，即使对于非常简单的情况，也不可能通过分析预测会发生什么，这更糟糕，因为你正在模拟一个具有离散步骤的连续系统。

Answer 3

要以恒定的速度重新定位两个重叠的圆，您只需找到碰撞发生的时间，并将它们的速度因子添加到它们的位置。

首先，我们考虑的不是两个圆的运动，而是一个圆的半径以及相对位置和速度的组合。假设输入圆的位置为P1和P2，速度为V1和V2，半径为r1和r2。让组合的圆具有位置半径、速度半径和半径r = r1 + r2。

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我们必须找出圆穿过原点的时间，换句话说，找出哪个r = |P + tV|的t的值。应该有0、1或2值，具体取决于圆是不通过原点、与原点相切还是与原点相切。

通过使两边平方来实现r^2 = ||P + tV||。

r^2 = (P + tV)*(P + tV) = t^2 V*V + 2tP*V + P*P利用L2范数等同于向量自身的点积这一事实，然后分布点积。

t^2 V*V + 2tP*V + P*P - r^2 = 0把它变成了一个二次方程。

如果没有解决方案，则判别式b^2 - 4ac将为负。如果它是零或正的，那么我们对第一个解决方案感兴趣，所以我们将减去判别式。

a = V*V
b = 2 P*V
c = P*P - r^2
t = (-b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

所以t是碰撞的时间。