在计算角度时避免atan2 - atan2精度

Question

我们开发人员经常需要计算角度来执行旋转。通常我们可以使用atan2()函数，但有时我们需要更高的精度。然后你会怎么做？

我知道理论上atan2是精确的，但在我的系统(iOS)中，它不精确到0.05弧度，所以它有很大的不同。这不仅仅是我的问题。我见过类似的观点。

Answer 1

atan2用于从向量a获取角度(x,y)。如果您使用此角度来应用旋转，则将使用cos(a)和sin(a)。您可以通过标准化(x，y)来简单地计算cos和sin，并保留它们而不是角度。精度将更高，您将节省大量三角函数的周期损失。

编辑。如果您确实想要一个来自(x，y)的角度，可以使用CORDIC的变体将其计算到所需的精度。

Answer 2

如果系统中long double的精度高于double，则可以使用atan2l。

long double atan2l(long double y, long double x);

Answer 3

在iOS上，我发现标准的三角运算符精确到大约13或14位小数位，所以你看到0.05弧度的误差听起来很奇怪。如果您可以生成代码和特定值来演示这一点，请对行为进行file a bug report (并在此处发布代码，以便我们可以对其进行记录)。

也就是说，如果您确实需要高精度的三角运算符，我已经修改了Dave DeLong为他的DDMathParser代码创建的一些例程。这些例程使用NSDecimal来执行数学运算，为您提供高达~34位的小数精度，同时避免表示以10为基数的小数时出现的标准浮点问题。您可以从here下载这些修改过的例程的代码。

使用以下代码计算atan()的NSDecimal版本：

NSDecimal DDDecimalAtan(NSDecimal x) {
    // from: http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Infinite_series

    // The normal infinite series diverges if x > 1
    NSDecimal one = DDDecimalOne();
    NSDecimal absX = DDDecimalAbsoluteValue(x);

    NSDecimal z = x;
    if (NSDecimalCompare(&one, &absX) == NSOrderedAscending) 
    {
        // y = x / (1 + sqrt(1+x^2))
        // Atan(x) = 2*Atan(y)
        // From: http://www.mathkb.com/Uwe/Forum.aspx/math/14680/faster-Taylor-s-series-of-Atan-x

        NSDecimal interiorOfRoot;
        NSDecimalMultiply(&interiorOfRoot, &x, &x, NSRoundBankers);
        NSDecimalAdd(&interiorOfRoot, &one, &interiorOfRoot, NSRoundBankers);
        NSDecimal denominator = DDDecimalSqrt(interiorOfRoot);
        NSDecimalAdd(&denominator, &one, &denominator, NSRoundBankers);
        NSDecimal y;
        NSDecimalDivide(&y, &x, &denominator, NSRoundBankers);

        NSDecimalMultiply(&interiorOfRoot, &y, &y, NSRoundBankers);
        NSDecimalAdd(&interiorOfRoot, &one, &interiorOfRoot, NSRoundBankers);
        denominator = DDDecimalSqrt(interiorOfRoot);
        NSDecimalAdd(&denominator, &one, &denominator, NSRoundBankers);
        NSDecimal y2;
        NSDecimalDivide(&y2, &y, &denominator, NSRoundBankers);

//        NSDecimal two = DDDecimalTwo();
        NSDecimal four = DDDecimalFromInteger(4);
        NSDecimal firstArctangent = DDDecimalAtan(y2);

        NSDecimalMultiply(&z, &four, &firstArctangent, NSRoundBankers);
    }
    else
    {
        BOOL shouldSubtract = YES;
        for (NSInteger n = 3; n < 150; n += 2) {
            NSDecimal numerator;
            if (NSDecimalPower(&numerator, &x, n, NSRoundBankers) == NSCalculationUnderflow)
            {
                numerator = DDDecimalZero();
                n = 150;
            }

            NSDecimal denominator = DDDecimalFromInteger(n);

            NSDecimal term;
            if (NSDecimalDivide(&term, &numerator, &denominator, NSRoundBankers) == NSCalculationUnderflow)
            {
                term = DDDecimalZero();
                n = 150;
            }

            if (shouldSubtract) {
                NSDecimalSubtract(&z, &z, &term, NSRoundBankers);
            } else {
                NSDecimalAdd(&z, &z, &term, NSRoundBankers);
            }

            shouldSubtract = !shouldSubtract;
        }
    }

    return z;
}

这使用泰勒级数近似，并使用一些快捷方式来加快收敛速度。我认为精度可能不是非常接近Pi /4弧度的结果的完整34位，所以我可能仍然需要解决这个问题。

如果您需要极高的精度，这是一个选项，但同样，您报告的不应该发生在double值中，所以这里有一些奇怪的东西。