当使用optim求函数最大值时，Hessian是-1 * Hessian

Question

我想找出函数的最大值：

Fd <- 224 * d1 + 84 * d2 + d1 * d2 - 2 * d1^2 - d2^2

我可以使用下面的代码使用‘穷举’搜索来做到这一点：

my.data <- expand.grid(x1 = seq(0, 200, 1), x2 = seq(0, 200, 1))

d1 <- my.data[,1]
d2 <- my.data[,2]
Fd <- 224 * d1 + 84 * d2 + d1 * d2 - 2 * d1^2 - d2^2

new.data <- data.frame(Fd = Fd, d1 = d1, d2 = d2)

# identify values of d1 and d2 that maximize Fd
new.data[new.data$Fd == max(new.data$Fd),]
#          Fd d1 d2
# 16157 11872 76 80

当d1 = 76和d2 = 80时，该函数的最大值为11872。

我还可以使用optim找到最大值，代码如下：

Fd <- function(betas) {
     b1 = betas[1]
     b2 = betas[2]
     -1 * (224 * b1 + 84 * b2 + b1 * b2 - 2 * b1^2 - b2^2)
}

optim(c(1,1), Fd, hessian = TRUE)

我将上面的函数乘以-1以获得最大值，并注意到此代码返回的最大值是真实最大值的负值。此外，此代码返回的Hessian是真正的Hessian * -1：

true.hessian <- matrix(c(-4, 1, 1, -2), nrow = 2, byrow = TRUE)
true.hessian

estimated.hessian <- -1 * true.hessian
estimated.hessian

我直到现在才意识到这一点，也没有在optim页面上看到这一点。我应该担心吗？如果是，在什么情况下？

在寻找最大值时，optim语句中是否有一个选项可以返回原始函数的真Hessian，而不是-1 *原始函数？或者我应该意识到，当我自己搜索最大值(而不是最小值)并更正Hessian时，Hessian是乘以-1的？

Answer 1

这将在最大化函数时返回正确的Hessian：

Fd <- function(betas) {

     b1 = betas[1]
     b2 = betas[2]

     (224 * b1 + 84 * b2 + b1 * b2 - 2 * b1^2 - b2^2)

}

optim(c(1,1), Fd, control=list(fnscale=-1), hessian = TRUE)

# $par
# [1] 76.00046 79.99999
#
# $value
# [1] 11872
#
# $counts
# function gradient 
#      129       NA 
#
# $convergence
# [1] 0
#
# $message
# NULL
#
# $hessian
#           [,1]      [,2]
# [1,] -3.999998  0.999999
# [2,]  0.999999 -2.000000