如何找到所需的初始条件？

Question

我正在解一组微分方程，其中的系数由解本身决定。下面是一个最小的例子：

s = NDSolve[{M'[r] == a r^2, M[0] == 0}, M, r]; 
Plot[Evaluate[M[r] /. s], {r, 0, 1}]

其中，通过要求M[r=1]=1来确定a。一旦找到了正确的a，我就可以正常地求解方程并绘制M[r]。在fortran中，我可以遍历a，直到满足这样的要求。我想知道如何使用Mathematica做到这一点，或者更好的是，更优雅地做到这一点(不是迭代，因为在Mathematica中这很耗时)。

或者，如果你觉得上面的例子太傻了，这里是原始问题：

s = NDSolve[{M'[r] == r^2 Exp[lnp[r]], lnp'[r] == - M[r]/r^2, M[0.01] == 0, lnp[0.01] == a}, {M, lnp}, {r, 0.01, 1}]
Plot[Evaluate[M[r] /. s], {r, 0.01, 1}]

其中，通过要求M[1]=1来确定a。

谢谢!

Answer 1

可能有一种更好的方法来做到这一点。

DSolve[D[M[r], r] == a r^2, M[r], r]

{{Mr -> (a r^3)/3 + C1}}。。。(等式1)

来自eqn。1，当r=0时，M[0] == C[1]，因此

M[r] == (a r^3)/3 + M[0]

给定M=0

M[r] == (a r^3)/3

同样给定M1 = 1，a == 3，因此

M[r_] := r^3

Plot[M[r], {r, 0, 10}]

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