基于比特表示的机器精度理解

Question

我正在尝试理解这是如何计算的：

一种表示数字的计算机程序，如下所示:1位表示整体符号，5位表示指数，20位表示尾数。显然，我们需要使用偏差来表示正数和负数。在此基础上，我如何计算机器精度和最大可能数？

Answer 1

获得想法的一种方法是测试程序何时舍入为零。你可以用python编写这段代码。

N = 52
a = 1.0-2**(-N); 
print "%1.25f" % a

尝试不同的N值。当打印输出中最低的N为0时，它将指示使用多少位来表示有效位。print语句是为了确保程序真正将数字视为零，而不仅仅是显示零。

Answer 2

假设您使用的是IEEE标准，则数字的表示公式为：

number = sign*(1+2^(-m)*significand)*2^(exponent-bias)

其中m是用于存储(整数)有效数(或尾数)的位数，bias等于2^(e-1) - 1，其中e是用于存储指数的位数。

让我们看看我们能从中得到什么。请注意，

• significand的值介于0和2^m - 1之间(在您的示例中:介于0和1048575).
• The之间) exponent的值介于0和2^e - 1之间。但是，这两个极值都是为异常保留的(次正态数、无穷大和NANs)，称为非规范化数。

因此，

• 小数部分(1+2^(-m)*significand)的最小值为1，最大值为2-2^(-m) (在您的示例中为2-2^(-20)，近似为总指数exponent-bias的最小非异常值为-2^(e-1)+2 (在您的示例中为-14)，最大值为2^(e-1)-1 (在您的示例中为:15)。

所以事实证明：

• 可以表示的最小(正)归一化数是2^(-2^(e-1)+2) (在您的情况下为2^(-14)，近似最大为(2-2^(-m))*(2^(2^(e-1)-1)) (在您的情况下为(2-2^(-20))*(2^15)，近似为65535,96875).

至于“机器精度”，我不知道你的意思是什么，但有人称m+1 (这里是21)为二进制精度，十进制数字的精度是log10(2^(m+1))，对你来说这大约是6.3。

我希望我没弄错什么，我不是这方面的专家。