如何将一个定点数除以一个小的浮点数？

Question

我需要将一组5U11数字除以6.02，并且我更喜欢这样做，而不是在float和back之间进行强制转换。

5U11表示16位无符号数，其中11个最低有效位表示小数部分。

我应该如何表示6.02，以及单次计算误差的上限是多少？

Answer 1

简单地缩放100就足够了。

uns16_t x_5U11;
uns32_t acc;
acc = x_5U11;
acc *= 100;
acc += 301; // for round to nearest rather than truncation.
acc /= 602;

错误界限：x_5U11中的1/2 LSbit。

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如果速度是最重要的，那么像@alastai建议的那样执行乘法和除法(通过移位)是可行的。通过适当的四舍五入，答案应该在+/- 1 LSBit内。

如果准确性是最重要的，则此方法提供+/- 1/2 LSbit (最佳答案)。

编辑感谢@Ingo Leonhardt指出我有一个反向的解决方案。

Answer 2

解决这个问题的最直接的方法是计算6.02的倒数作为16位数；即计算舍入(2^16/ 6.02) = 0x2a86。请注意，顶部位未设置，因此我们可以选择更高的被除数并重新计算以获得更好的精度；在本例中，四舍五入(2^18/ 6.02) = 0xaa1a。

现在，取您的5U11数字并执行16x16到32位的加宽乘法，然后右移(在本例中) 18位以获得结果，即5U11值。

例如：

14.3562 * (2^18 / 6.02) = 625148.122 / 2^18 = 2.384
0x72d9  * 0xaa1a        = 0x4c4fc40a >> 18  = 0x1313

这样做确实会损失一点准确性，而且这种天真的方法可能会略有改进(请参阅Henry S.Warren的Hacker‘s Delight一书，了解有关此主题和其他有用内容的更多信息)。

显然，如果你有一台能够做更宽乘法的机器，你可以将被除数的大小增加到2^18以上，这将提高你的精度。

更新

舍入

如果您想舍入到最近的值，您应该添加d/2，其中d是您的被除数(因此在上面的示例中，被除数是2^18，因此舍入值是2^17或0x20000。

误差分析

给定较小的域，最简单的方法是进行详尽的搜索以确定最大误差。在上面的示例中，通过添加0x20000使用舍入到最近，最大误差出现在x= 0xfa19处

0xfa19 * 0xaa1a + 0x20000 = 0xa62e008a >> 18 = 0x298c

实际的答案应该是

31.2622 / 6.02 = 5.193058

而我们得到的答案是

0x298c * 2^-11 = 5.193359

这种情况下的误差是0.000302，或者说是LSB的0.62。

改进这些结果

可以选择一个更具体的舍入常数来最小化误差范围；本质上，这可以让我们弥补乘法逆(这里是0xaa1a)不精确的事实。在这个特定的例子中，最好的值似乎在0x1c200附近，它产生的误差界是0.56。