用MATLAB/Mathematica对动态系统进行建模

Question

最近，我一直在对一些动力学系统进行模拟，其中所有的动力学变量都是相互依赖的。因此，为了模拟动态，我在小的时间步长dt<<1上执行了循环，并在每次迭代中改变了数量。分别在Mathematica和Matlab中进行了仿真。我得到了很好的结果，但由于迭代过程缓慢，模拟可能需要相当长的时间。一般来说，我听说应该避免像我使用过的for循环，因为它们会大大减慢模拟速度。然而，另一方面，我不知道如何在没有迭代的情况下以小的时间步长进行模拟。因此，我问你:对于一个动态系统，其中每个量都必须在超小的时间步长内变化，那么有什么可能的方法来模拟动态。

Answer 1

直接的方法是将问题写成一组微分方程，并使用任一系统的常微分方程求解能力。MATLAB和Mathematica都有先进的(可定制的)数值微分方程解算器，它们都支持微分方程中不能用简单公式表示的特殊“事件”(例如，球从地板上反弹回来的事件)。

对于Mathematica，首先查看NDSolve，然后查看WhenEvent，然后查看Advanced Numerical Differential Equation Solving tutorial。

从您的描述中，听起来您可能使用了一种简单的ODE解决方法，比如Euler method。使用更好的数值常微分方程求解技术可以提供显着的有效加速(通过不强迫您使用“超小时间步长”)。

如果性能是最重要的，可以考虑使用低级语言(如C或C++ )重新实现模拟，并可能使其可从Mathematica (LibraryLink)调用，以简化数据分析和可视化。