椭圆与修改一条轴的直线切线拟合

Question

此问题的图表如下所示：

http://dl.dropbox.com/u/13390614/Question.jpg

取一个具有固定短轴的轴对齐椭圆，沿其长轴拉伸该椭圆，直到它与某个线段相切(图中的A)。

切点(P)的坐标是多少，或者长轴的长度是多少？

如果我有切点，我知道如何计算长轴，如果我有长轴，我知道如何计算点，但如果两者都没有，我就难倒了。

当短轴和长轴一起拉伸时，我也解决了这个问题，保持比率不变。问题是当一个轴是固定的。

任何见解都将不胜感激，尤其是通过trig。

加里

Answer 1

考虑一下

x^2/max^2 + y^2/fix^2 = 1; % ellipse
Ax + By + C = 0;            % segment line

然后

x^2/max^2 + (Ax + C)^2/(B*fix)^2 = 1; // Quadratic equation

你的解决方案是当判别式等于0时。

   x^2   (1/max^2 + A^2/(B*fix)^2)   
+  x      2 AC/(B*fix)^2
+        C^2/(B*fix)^2 - 1  
= 0

a = (1/max^2 + A^2/(B*fix)^2);
b = 2 AC/(B*fix)^2;
c = C^2/(B*fix)^2 - 1.

b^2 = 4ac   ==>   a = b^2/c    ==>
a = 4(AC)^2/(B*fix)^4 / ( C^2/(B*fix)^2 - 1 )
1/max^2 = 4(AC)^2/(B*fix)^4 / ( C^2/(B*fix)^2 - 1 ) - A^2/(B*fix)^2);

Answer 2

点P具有y坐标r^2/h，其中r是椭圆的半短轴(因此这里是r=0.75)，h是线段延伸与y轴相交的点的y坐标(称为该点H)。

为什么会这样呢？假设我们知道正确的椭圆和点P是什么，现在执行仿射变换(x，y) -> (kx，y)，其中选择k，使椭圆变成一个圆。这不会移动H，因为H在y轴上，它将P移动到具有相同y坐标的点P‘，因此HP’是从H到半径为r的圆的切线段。通过类似的直角三角形，P‘(因此P)具有y坐标r^2/h。

当然，可能发生的情况是，P不在原始线段上，而只是它对直线的延伸，或者垂直轴实际上是结果椭圆的长轴；您可能需要根据您的应用程序检查这些情况。