用数值方法解决非线性系统的最好的库或软件是什么？

Question

我有一个由8个具有约束(最小和最大可接受值​​)的8个变量的7阶8个多项式方程组成的系统。

在你的经验和知识中，什么是解决这类问题的最有效的“包”？数学，Matlab，C++/ Java数学库，...

我尝试了一些天真的方法，但效果很差……所以现在我尽量做到稳妥(尽可能)

非常感谢

Answer 1

你没有说这是一个恒定(已知)系数的问题，还是系数是符号的。我假设当你说七次多项式时，我假设你指的是多项式的次数。

好吧，让我们从一个事实开始。一般情况下，具有一般系数的五次或更高阶多项式将没有解析解。你总是可以走运的，但不要期望解决方案。如果系数是象征性的，那么当你的系数超过4度时，就会遇到麻烦。

你有一个多项式系统。例如，假设我们有两个二次方程，两个变量？我们可以解决其中一个问题，去掉那个变量，然后代入另一个变量。我们将在剩余的变量中得到一个四次(四次)方程。求解这4个解决方案。

但是如果我们有更大的系统，或者更高阶的多项式呢？一般规则是，消除和求解方案将有效地简化为最终的方程，其阶数等于方程的阶数的乘积。因此，一个由8个多项式组成的系统，每个多项式的次数为7，将等价于求解一个56次多项式。如果系数是常量和已知的，那么在理论上我们可以使用一些类似的多项式求根。它们中的许多都可以产生数值根解。但如果系数是符号的，而你需要一个符号解，或者如果你想要一个解析解，那么你几乎肯定会被卡住。

同样，一些简单的问题可能会有解决方案。我曾经感到惊讶的是，我用这种形式生成的问题是可以解决的，产生了一个很好的，很容易写出来的解决方案。但通常你就没那么幸运了。

当然，您正在对解决方案进行限制。这并不是那么困难，因为只要你在寻找数值解，你就可以简单地排除所有超出界限的解。

Answer 2

我对你提到的所有软件包和语言都有一些求解方程的经验。

对于程序员来说，效率最高的是Mathematica，紧随其后的是Matlab和Symbolic Toolbox。对于你引用的中等规模和复杂性的问题，我认为你不应该关心执行效率，无论是Mathematica还是Matlab都不会费力地解决这样的问题。

注意，这个答案是主观的，这个问题(在一定程度上)也是主观的。