求解多个方程的多个相角

Question

我有几个方程式，每个方程式都有自己的频率和振幅。我想将这些方程相加，并调整各个相位、phase1、phase2和phase3，以使eq_total的总振幅值保持在一个特定值以下，如0.8。我知道我可以标准化信号或更改垂直偏移，但出于我的目的，我需要通过更改/查找phase1、phase2和phase3中的相位值来控制振幅，这些值将限制方程求和时的最大振幅。

注意:我使用建设性和破坏性相位干涉来调整求和方程的最大振幅。

Example:
eq1=0.2*cos(2pi*t*3+phase1)+vertical offset1
eq2=0.7*cos(2pi*t*9+phase2)+vertical offset2
eq3=0.8*cos(2pi*t*5+phase3)+vertical offset3

eq_total=eq1+eq2+eq3

有没有一种方法可以解决phase1、phase2和phase3的问题，使eq_total中的求和信号的振幅不会超过0.8，只需调整/找到phase1、phase2和phase3的值？

这是一张我用来测试这个想法的geogebra applet的图片。

​

​

这是我用来编辑/测试idea的geogebra ggb文件。(我用它来看看我的想法是否可行)如果您想要与小程序http://dl.dropbox.com/u/6576402/questions/ggb/sin_find_phases_example.ggb进行动态交互，则需要Java

我正在使用matlab/octave，谢谢

Answer 1

你的例子

eq1=0.2*cos(2pi*t*3+phase1)+vertical offset1
eq2=0.7*cos(2pi*t*9+phase2)+vertical offset2
eq3=0.8*cos(2pi*t*5+phase3)+vertical offset3

eq_total=eq1+eq2+eq3

其中最大振幅应小于0.8，有无限多个解。除非您有其他想要实现的目标，否则我建议您修改该问题，以便找到最大振幅恰好为0.8 (或0.79，这样就可以保证低于)的相位角组合。

此外，三个相位角中只有两个是独立的；如果你全部增加，比如说pi/3，解决方案仍然有效。因此，在eq_total中只有两个未知数。

你可以使用FMINSEARCH来解决非线性优化问题。您可以将问题公式化，使max(abs(eq_total(phase1,phase2)))等于0.79。

因此：

%# define the vector t, verticalOffset here

%# objectiveFunction is (eq_total-0.79)^2, so the phase shifts 1 and 2 that
%# satisfy this (approximately) should guarantee that signal never exceeds 0.8
objectiveFunction = @(phase)(max(abs(0.2*cos(2*pi*t+phase(1))+0.7*cos(2*pi*t*9+phase(2))+0.8*cos(2*pi*t*5)+verticalOffset)) - 0.79)^2;
%# search for optimal phase shift, starting at no shift
solution = fminsearch(objectiveFunction,[0;0]);

编辑

不幸的是，当我尝试这段代码并绘制结果时，最大振幅不是0.79，而是大于1。我做错了什么吗？参见以下代码: t=linspace(0,1,8000)；verticalOffset=0；objectiveFunction =t=linspace- 0.79)^2；s1 = fminsearch(objectiveFunction,0；0) eqt=0.2*cos(2*pi*t+s1(1))+0.7*cos(2*pi*t*9+s1(2))+0.8*cos(2*pi*t*5)+verticalOffs‌​et；图(Eqt)

fminsearch会找到目标函数的最小值。这个解决方案是否满足您的所有条件是您必须测试的东西。在这种情况下，fminsearch给出的初始值为[0;0]的解决方案的最大值为~1.3，这显然不够好。但是，当您绘制从0到2pi的相位角范围的最大值时，您将看到` `fminsearch没有陷入糟糕的局部最小值。相反，根本没有好的解决方案(z轴是最大值)。

​

​

Answer 2

如果我没理解错的话，你是想找一个相位来改变信号的振幅。据我所知，这是不可能的。

对于一个信号

s = A * cos (w*t + phi)

只有A允许您更改振幅。使用w，您可以改变信号的频率，而phi会调整“水平移位”。

此外，我认为你在上面的等式中遗漏了一个“移动变量”，比如time t。

也许this的文章澄清了一些事情。

Answer 3

如果您将所有垂直偏移量设置为等于-1，那么它就解决了您的问题，因为每个eq#永远不会大于0，因此和永远不会大于0.8。

我知道这不是很有帮助，但我希望这能帮助你更好地理解你的问题。