什么是梯度方向和梯度大小？

Question

我目前正在学习计算机视觉中的一个模块，称为边缘检测。我试图理解梯度方向和梯度大小的含义。

Answer 1

正如Dima在他的answer中所解释的那样，为了更好地理解图像处理领域中的梯度，您应该熟悉gradient的数学概念。

我的答案是基于mevatron到这个question的answer。

在这里你可以找到一个黑色背景上的白色磁盘的简单初始图像：

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您可以计算此图像的梯度的近似值。正如Dima在他的回答中解释的那样，梯度有两个分量，一个水平分量和一个垂直分量。

下图显示了水平分量：

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它显示了图像中的灰度值在水平方向上的变化(它是正x的方向，从左到右扫描图像)，这种变化被“编码”在图像的水平分量的灰度级中:平均灰度值表示没有变化，亮级别表示从暗值变为亮值，暗值表示从亮值变为暗值。因此，在上面的图像中，您在圆圈的左侧看到较亮的值，因为在初始图像的左侧，您可以看到黑白过渡，它提供了磁盘的左边缘；类似地，在上面的图像中，您在圆圈的右侧看到较暗的值，因为在初始图像的右侧，您具有从白到黑的过渡，提供磁盘的右边缘。在上面的图像中，磁盘的内部和背景处于平均灰度，因为磁盘内部和背景中没有变化。

我们可以对垂直分量进行类似的观察，它显示了图像在垂直方向上的变化，即从上到下扫描图像：

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现在，您可以组合这两个组件，以获得渐变的大小和方向。

下图是渐变的大小：

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同样，在上面的图像中，初始图像的变化是以灰度编码的:在这里，你可以看到白色意味着初始图像的高度变化，而黑色意味着根本没有变化。所以，当你看到梯度大小的图像时，你可以说，“如果图像很亮，意味着初始图像发生了很大的变化；如果图像很暗，意味着没有变化或变化很小”。

下图是渐变的方向：

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在上面的图像中，方向再次编码为灰度级:您可以将方向视为从图像的暗部分指向图像的亮部分的箭头的角度；角度指的是xy帧，其中x从左到右，而y从上到下。在上图中，您可以看到从黑色(零度)到白色(360度)的所有灰度。我们可以用颜色对信息进行编码：

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在上面的图像中，信息是这样编码的：

红色:角度在0到90度之间

青色:角度在90度到180度之间。

绿色:角度在180度到270度之间

黄色:角度在270度到360度之间

这里是用于生成上述图像的C++ OpenCV代码。

请注意，对于方向的计算，我使用了函数 ，正如在 中所解释的那样，当梯度的垂直分量和水平分量都为零时，该函数的角度为0；这可能很方便，但从数学的角度来看，这显然是错误的，因为当两个分量都为零时，没有定义方向，并且在浮点C++类型中保存的方向的唯一有意义的值是 NaN**.**

它显然是错误的，因为例如，0度方向已经与水平边缘相关，它不能用于表示其他东西，如没有边缘的区域，因此方向没有意义的区域。

// original code by https://stackoverflow.com/users/951860/mevatron
// see https://stackoverflow.com/a/11157426/15485
// https://stackoverflow.com/users/15485/uvts-cvs added the code for saving x and y gradient component 

#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace cv;
using namespace std;

Mat mat2gray(const cv::Mat& src)
{
    Mat dst;
    normalize(src, dst, 0.0, 255.0, cv::NORM_MINMAX, CV_8U);

    return dst;
}

Mat orientationMap(const cv::Mat& mag, const cv::Mat& ori, double thresh = 1.0)
{
    Mat oriMap = Mat::zeros(ori.size(), CV_8UC3);
    Vec3b red(0, 0, 255);
    Vec3b cyan(255, 255, 0);
    Vec3b green(0, 255, 0);
    Vec3b yellow(0, 255, 255);
    for(int i = 0; i < mag.rows*mag.cols; i++)
    {
        float* magPixel = reinterpret_cast<float*>(mag.data + i*sizeof(float));
        if(*magPixel > thresh)
        {
            float* oriPixel = reinterpret_cast<float*>(ori.data + i*sizeof(float));
            Vec3b* mapPixel = reinterpret_cast<Vec3b*>(oriMap.data + i*3*sizeof(char));
            if(*oriPixel < 90.0)
                *mapPixel = red;
            else if(*oriPixel >= 90.0 && *oriPixel < 180.0)
                *mapPixel = cyan;
            else if(*oriPixel >= 180.0 && *oriPixel < 270.0)
                *mapPixel = green;
            else if(*oriPixel >= 270.0 && *oriPixel < 360.0)
                *mapPixel = yellow;
        }
    }

    return oriMap;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    Mat image = Mat::zeros(Size(320, 240), CV_8UC1);
    circle(image, Point(160, 120), 80, Scalar(255, 255, 255), -1, CV_AA);

    imshow("original", image);

    Mat Sx;
    Sobel(image, Sx, CV_32F, 1, 0, 3);

    Mat Sy;
    Sobel(image, Sy, CV_32F, 0, 1, 3);

    Mat mag, ori;
    magnitude(Sx, Sy, mag);
    phase(Sx, Sy, ori, true);

    Mat oriMap = orientationMap(mag, ori, 1.0);

    imshow("x", mat2gray(Sx));
    imshow("y", mat2gray(Sy));

    imwrite("hor.png",mat2gray(Sx));
    imwrite("ver.png",mat2gray(Sy));

    imshow("magnitude", mat2gray(mag));
    imshow("orientation", mat2gray(ori));
    imshow("orientation map", oriMap);
    waitKey();

    return 0;
}

Answer 2

二元函数x，y的梯度是x和y方向上的偏导数的向量。因此，如果你的函数是f(x，y)，那么梯度就是向量(f_x，f_y)。图像是(x，y)的离散函数，因此您还可以讨论图像的梯度。

图像的梯度有两个分量:x导数和y导数。所以，你可以把它看作是在每个像素上定义的向量(f_x，f_y)。这些向量有一个方向(f_y/ fx)和一个幅度sqrt(f_x^2 + f_y^2)。因此，您可以将图像的梯度表示为x导数图像和y导数图像，或者表示为方向图像和幅度图像。