数学问题:三角形，金字塔，旋转，平移，缩放

Question

另一个棘手的问题。你在这里可以看到的是我的物理金字塔，它由3个led组成，在一个平面上形成一个三角形，另一个在中间中心，大约在其他3个上方18 my处。第四个使三角形变成金字塔。(如果你看直角三角形，你可能会看得更清楚。这个是围绕水平方向旋转的，你可以很好地看到棒上的二极管)。

​

​

第二张图片显示了我正在运行的程序。左边的方框显示了leds的原始图片(带红外滤光片的照片)。中间的图片显示，我的程序找到了点，并且还能够根据一些条件(比如C总是二极管之间距离最大的两条线相交的地方；两个最长的长度总是a和b)来区分哪个点是哪个点。但我不关心这个，我知道这些点是100%正确找到的。

然后在右边的图片上是一些计算值，比如C和C之间的高度等等。我可以计算更多，但我现在并不关心，因为我被卡住了。

我想计算金字塔在3维空间中的旋转和平移。

黄色点是在摄像机z方向上绕着三角形中心的轴旋转后的leds。所以现在在计算其他2的时候，我不需要担心这个，围绕水平轴的旋转，和围绕垂直轴的旋转。我可以很容易地计算出从三角形中心到第四个二极管的距离的长度(正如你可以看到第四个二极管在图像平面上旋转)，或者两个轴的长度。

但我的问题是未知的深度。

它影响所有长度(a，b，c，以及从中心到第四个二极管的长度，如果我们称之为d和e的话)。我知道真实金字塔的测量，容差为+-5%左右，但它们也会受到缩放的影响。那么我该如何处理这个问题呢？

我想出了一个方程，它与水平轴的长度，垂直轴的长度，α，β和γ角，以及d和e的长度之比。

Alpha，beta和gamma只受围绕轴线旋转的影响(我想知道。我想知道旋转和缩放)，其中围绕一个轴旋转的效果与围绕另一个轴旋转的效果相反。因此，如果你以相同的角度围绕两个轴旋转，两个轴之间的长度比率与以前相同。

变焦(real:它离相机有多近；我想知道第一位的内容:乘法因子2x，3x,0.5，0,4322344，.....)不影响角度，但影响所有长度: a，b，c，d，e，hc (轴的垂直长度)，hx (我还没有计算它，但它很容易。hx的名字可以变化，我现在只是随机想到了一些东西；它是水平轴的长度)，以同样的方式(我猜)。

你看，我想了很多，但我觉得我太傻了。

那么，有没有数学天才可以给我正确的方程，关于旋转或/和缩放因子？

(我也考虑过使用Posit/Downhill- Simplex等等，但这将是最好的，因为我已经知道很多东西了，像所有的点，等等)

求求你，我真的很需要你的帮助！如果你需要知道，我用C++和OpenCV的帮助写了这篇文章，但我认为这更多的是一个数学问题。

提前感谢！

啊，Alpha似乎总是和Beta一样！

编辑: Had删除了第二张图片

Answer 1

看看Boost Geometry或here also

Answer 2

看看OpenCV中的SolvePnP()。即使您不直接使用它，文档中也有对所用方法的引用。