求取封闭浮点数之间的“离散”差

Question

假设我有两个浮点数，x和y，它们的值非常接近。

在计算机上可以表示一个离散的浮点数，所以我们可以按升序枚举它们：f_1, f_2, f_3, ...。我希望在这个列表中找到x和y的距离(即它们是1，2，3，...或者n离散的步骤分开？)

是否可以只使用算术运算(+-*/)，而不查看二进制表示法？我主要感兴趣的是这在x86上是如何工作的。

假设y > x和x和y之间只有几步(比方说< 100)的距离，下面的近似是正确的吗？(可能不是...)

(y-x) / x / eps

这里eps表示机器epsilon。(机器epsilon是1.0和下一个最小浮点数之间的差值。)

Answer 1

浮点数是按字典顺序排序的，因此：

int steps(float a, float b){

  int ai = *(int*)&a;  // reinterpret as integer
  int bi = *(int*)&b;  // reinterpret as integer
  return bi - ai;
}

steps(5.0e-1, 5.0000054e-1);  // returns 9

比较浮点数时使用Such a technique。

Answer 2

你不必直接检查二进制表示，但我认为你必须依靠它来获得准确的答案。

首先使用frexp()将x分解为指数exp和尾数。我相信下一个比x大的浮点数是x + eps * 2^(exp-1)。( "-1“是因为frexp返回范围为[1/2，1)的尾数，而不是[1，2])。)

如果x和y有相同的指数，你基本上就完成了。否则，你需要计算2的幂有多少步，这就是1.0/eps。换句话说，2^n和2^2(n+1)之间的步数是1.0/eps。

所以，对于y > x，计算从x到2的下一个幂的步数；然后计算到2的最大幂减去y需要多少步；然后计算从那里到y需要多少步，我认为所有这些都很容易用eps表示。