有效地存储大而低秩的矩阵

Question

我知道在R中有一些包可以有效地存储稀疏矩阵。是否也有一种方法可以有效地存储低秩矩阵？例如：

A <- matrix(rnorm(1e6), nrow=1e5, ncol=1e1)
B <- A %*% t(A)

现在，B太大了，不能存储在内存中，但它的秩很低。有没有办法以一种有效的方式构造和存储B，这样一些基本的读取方法(rowSums、colSums等)就可以动态执行，以换取B或内存？

Answer 1

你的问题已经是答案了:为了有效地存储这样一个低秩矩阵，你需要建立一个包含这两个因素的数据结构。如果需要矩阵-向量乘法，可以使用因子的矩阵-向量乘积从右到左完成。

这种策略和数据结构的一个应用可以在有限内存的Broyden或BFGS拟牛顿方法的实现中找到。

Answer 2

这是另一种方法，尽管我错过了了解这种方法对大型矩阵的效率的经验：

如果秩较低，则意味着矩阵包含许多不相关的行，这些行是其他行的线性组合。如果矩阵表示线性方程组，则可以设计一种算法，连续删除这些线。

要检查某行是否不相关，请检查没有该行的矩阵的秩是否仍然相同。有关计算矩阵秩的信息，请参阅this和that答案。