使用Simplify解决方案会产生实际解决方案，而使用FullSimplify解决方案会产生复杂的解决方案吗？

Question

我在mathematica 8中的DSolve[]命令有一个问题。解下面的四阶微分方程会得到一个复杂的解，尽管它应该是一个实数解。方程式是：

y''''[x] + a y[x] == 0

手工求解这个方程会得到一个只有实数部分的解。所有常量和边界条件也是实数。

我手把手得到的解决方案是：

y1[x_] = (C[5] E^(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1] x) + 
  C[6] E^(-(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1]) x)) Cos[
 Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1]
   x] + (C[7] E^(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1] x) + 
  C[8] E^(-(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1]) x)) Sin[
 Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1] x];

现在我必须求解常量C5...C8。这也出现了类似的问题。我使用带有边界条件的Solve[]命令

Solve[{y1''[-c] == ic0, y1''[c] == ic0 , y1'''[-c] == ic1 , 
y1'''[c] == - ic1 }, {C[5], C[6], C[7], C[8]} ];

如果使用//Simplify，则常量C5...C8为实数；如果使用//FullSimplify，则常量为complex。

你知道原因是什么吗？包含我的计算的笔记本可以在以下位置下载：http://dl.dropbox.com/u/4920002/DGL_4th_Order_with_own_solution.nb

在进一步的工作中，我必须使用DSolve[]，我想在这里了解这个问题。

谢谢,

安德烈亚斯

Answer 1

我认为你的一些陈述取决于细节。例如，如果选择a<0，则某些参数C[]可以是复数：

parS = Solve[{y1''[-c] == ic0, y1''[c] == ic0, y1'''[-c] == ic1, 
    y1'''[c] == -ic1}, {C[5], C[6], C[7], C[8]}] // Simplify;
parFS = Solve[{y1''[-c] == ic0, y1''[c] == ic0, y1'''[-c] == ic1, 
    y1'''[c] == -ic1}, {C[5], C[6], C[7], C[8]}] // FullSimplify

parS /. {a -> -2, c -> 10, ic0 -> 1, ic1 -> -1} // N
parFS /. {a -> -2, c -> 10, ic0 -> 1, ic1 -> -1} // N

(* {{C[5] -> -0.35876 - 2.498*10^-15 I,  C[6] -> -0.35876 - 2.498*10^-15 I, 
     C[7] -> 2.27596*10^-15 - 0.358762 I, C[8] -> -2.27596*10^-15 + 0.358762 I}}

   {{C[5] -> -0.35876 + 5.10703*10^-15 I, C[6] -> -0.35876 + 5.10703*10^-15 I, 
     C[7] -> 2.35922*10^-15 - 0.358762 I, C[8] -> -2.19269*10^-15 + 0.358762 I}} *)

除了这一点，你可以在一行中得到问题的解决方案，事实上，它看起来是一个真实的函数(除了数字)：

sol[a_, ic0_, ic1_, c_, x_] = y[x] /. DSolve[{y''''[x] + a y[x] == 0, y''[-c] == ic0, 
     y''[c] == ic0, y'''[-c] == ic1, y'''[c] == -ic1}, y[x], x][[1]] ;

Plot[Im[sol[-2.0, 1.0, -1.0, 10., x]], {x, -10., 10.}]
Plot[Re[sol[-2.0, 1.0, -1.0, 10., x]], {x, -10., 10.}]

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Answer 2

因为你在Mathematica.SE上交叉发布了这个问题，我在那里给出了答案。问题的症结在于，即使a的值是实数和正值，四阶微分方程的一般解也是复。句号。如果你碰巧只对真正的解决方案感兴趣，it is possible to extract them。