通过点的矢量与轴和长度的夹角，得到点在3D空间中的坐标

Question

我有一个矢量的大小，指向3D空间中从原点(0x，0y，0z)的某处。我还有一个角度，向量在X轴和Z轴上的投影，在它自身和Y轴之间。换句话说，我有一个操纵杆，它显示左右移动的X角(从-35度到35度)和前后移动的Z角(从-35度到35度)。当操纵杆在其初始位置时，它返回0。我得到的读数是大小(线从操纵杆拉出的距离)。我需要找到字符串末尾的点的坐标(假设1厘米大小等于一个单位向量)。点始终位于x-z轴平面之上。大小永远不会为0。

我希望能有一个关于Java的算法或一段代码，即使有额外资料的链接也是很好的。有关于旋转角和矩阵的问答，但看起来我有一个不同的问题。

更新:角度不在矢量和x，y，z轴之间。它们是向量在轴上的投影与Y轴形成的角度。

UPD1:操纵杆可以左右移动和前后移动：

    +z
     |            
-x -- -- +x       -x --'-- +x
     |
    -z
Top view          Side view (along z-axis)

以及中间有一个可扩展的字符串：

    +z                +s (+y)
     |                 |
-x -- -- +x       -x --'-- +x
     |
    -z
Top view          Side view (along z-axis)

当字符串延伸时，3D中的点(P)就形成了

    +z               +y                 +y
     | P              |  P               |  P
     |/               | /                | /
-x --/-- +x           |/                 |/
     |           -x --'-- +x        -z --'-- +z
    -z
Top view          Side view          Side view
               (along z-axis)      (along x-axis)

我收到以下格式的坐标：

- x-axis angle (call it alpha) [-1 1] in reality between [-35 and 35] degrees
- y-axis angle (call it theta) [-1 1] in reality between [-35 and 35] degrees
- magnitude of vector OP (call it magnitude) [-1 1] in reality between 0[ and 305] cm

Answer 1

听起来你有两个角度和一个大小，这是球面坐标。您希望将球面坐标转换为笛卡尔坐标：

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​

更多信息here。

编辑：

在进一步检查这个问题后，我发现这个问题要奇怪得多。你有两个分量向量(0，y，z)和(x，y,0)在y轴上的投影，它们描述俯仰和滚动。我确信操纵杆为偏航提供了另一个组件，但是它并没有在操作中指定。奇怪的是，这些分量实际上不可能是(x，y，z)向量的向量分量，因为这样y投影将是相同的。我认为OP正在寻找的是由这些给定的分量点和原点创建的新平面的法线。为了让它起作用，我必须给出投影产生的向量的大小。因为没有指定，所以我假设它们是单位向量。

Vector xPrime=Vector(sqrt(1-xProj^2),xProj,0);
Vector zPrime=Vector(0,y,sqrt(1-zProj^2));
Vector ans=cross(zPrime,xPrime);

cross product的方程。根据OP中的签名约定，答案可能需要否定一些组件。

Answer 2

这似乎并不像预期的那样工作。我正在努力寻找解决方案。

设Y轴与向量在X轴上的投影之间的夹角为"alpha“，Y轴与向量在Z轴上的投影之间的夹角(θ)。X轴上的直线(投影)有一个方程式：

y = (1/tan(alpha) * x) + (0 * z)

直线(z轴上的投影有一个等式：

y = (0 * x) + (1/tan(theta) * z)

所以我们可以把它们放在后面，得到下面的方程：

x = (z * tan(alpha)) / tan(theta)
z = (x * tan(theta)) / tan(alpha)

如果我们替换矢量的量级方程中除一个以外的所有未知数：

|v| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

我们得到一个方程式，它可以用x重新排列：

         /   magnitude^2 + tan^2(alpha)    \
x = sqrt |---------------------------------|
         \ tan^2(alpha) + tan^2(theta) + 1 /

漂亮的方程式：

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{}\frac{\left%20|vector\right%20|^2%20+%20tan^2%28xy%29}{tan^2%28xy%29%20+%20tan^2%28zy%29%20+%201}

(复制-粘贴链接)

然后我们可以替换前面方程中的x，得到z和y。

Answer 3

这是我的一个解决方案(不同的轴，但原理是相同的)

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假设：

OK = LT' = x [unknown]
OL = T'K = y [unknown]
OT = 1 [unit vector]
^TKT' = ^a
^TLT' = ^b

我们找出了x和y之间的关系

y = x * (tan(b) / tan(a))

在OT为单位向量的情况下，可以通过以下方法找到x：

x = sqrt{ tan^2(a) * cos^2(b) / (tan^2(a) + sin^2(b)) }
y = 1 / sqrt{ tan^2(a) / sin^2(b) + 1 }

z (TT')是：

z = x * tan(b)