Rbar / Rbar_le / coquelicot引理

Question

我正在通过Coq 8.12.0参考手册学习Coq，并且在证明以下引理时遇到了困难。

From Coq Require Import Lia Reals Lra List.

Lemma lemma1 : forall (x y:Rbar), Rbar_le x 0 -> Rbar_le y 0
   -> Rbar_le (Rbar_plus x y) 0.

Proof.
destruct x ; destruct y ; simpl ; intuition.
destruct H.
destruct H0.
unfold Rle.
auto with real.
right.
...

然后我就得完成证明。有什么想法吗？

Answer 1

当您输入right策略时，您在证明中做出了一个没有被您的假设中的事实所证实的选择。你应该删除这一行，并尝试找到另一种方法来证明你最初的猜想，这似乎真的是可以证明的。

实际上，如果您开始展开Rle的定义并使用destruct，您就进入了太多的细节。...; intuition之后的目标如下：

1 subgoal (ID 207)

  r, r0 : R
  H : r <= 0
  H0 : r0 <= 0
  ============================
  r + r0 <= 0

这是简单线性算术的一个目标(因为我们只将变量相加，并使用简单的比较)。这可以通过一种名为lra的强大策略来解决。就叫它吧。您的证明的完整脚本在这里：

Lemma lemma1 : forall (x y:Rbar), Rbar_le x 0 -> Rbar_le y 0
   -> Rbar_le (Rbar_plus x y) 0.

Proof.
destruct x ; destruct y ; simpl ; intuition.
lra.
Qed.