枚举树中的所有路径

Question

我试了又试；找了又找，但没有真正找到一个算法来解决我的问题。我想枚举树中的所有路径，(不仅仅是简单的路径)那些以叶节点开始和结束的路径(虽然这是一个简单的约束)。

例如，对于一棵树；

      1
    /   \ 
   2     3
  / \   / \
 4   5 6   7

我希望能够生成以下路径：

4
4-2-5
4-2-5-2-1-3-6
4-2-5-2-1-3-7
4-2-5-2-1-3-6-3-7
4-2-1-3-6
4-2-1-3-7
4-2-1-3-6-3-7
5
5-2-1-3-6
5-2-1-3-7
5-2-1-3-6-3-7
6
6-3-7
7

我想这就是全部。

我已经尝试了以下解决方案Complexity of finding all simple paths using depth first search?。但是，这只能找到简单的路径，因此找不到4-2-5-2-1-3-6这样的路径。

你有没有任何方法可以指导我，或者任何算法？

Answer 1

像4-2-1-2-5这样的路径算数吗？如果是这样的话，我想我有答案了：

在我看来，你只想让每条边被访问“一次”。因此，以图的“对偶”为例，将路径视为边的序列，而不是顶点的序列。这样，顶点边就变成了你的“顶点”，而顶点变成了“边”。

这应该会将您的问题减少到生成简单的图路径，这是一个您已经知道如何做的问题。

traverse(path, edg):
    mark edg as visited
    print path
    for each edge (e2) sharing a vertex with edg:
        traverse(e2, path+e2)

(with some sort of precaution to avoid duplicate paths being printed)

Answer 2

如果你的树是二叉树，这里有一个相当简单的递归算法。在Python中：

def lchild(u):
    return 2 * u

def rchild(u):
    return 2 * u + 1

def paths(u, depth):
    if depth <= 0:
        yield ((), (u,), ())
    else:
        for ldown, lpath, lup in paths(lchild(u), depth - 1):
            yield ((u,) + ldown, lpath, lup + (u,))
        for ldown, lpath, lup in paths(lchild(u), depth - 1):
            for rdown, rpath, rup in paths(rchild(u), depth - 1):
                yield ((u,) + ldown, lpath + lup + (u,) + rdown + rpath, rup + (u,))
        for rdown, rpath, rup in paths(rchild(u), depth - 1):
            yield ((u,) + rdown, rpath, rup + (u,))

if __name__ == '__main__':
    for down, path, up in paths(1, 2):
        print path