求解形式p[n，m]==p[n，m-2]+p[n-1，m-1]+p[n-2，m]的递推

Question

我正在尝试解决(找到一个封闭形式的解决方案)这个(风险赔率计算器)递归关系：

p[n,m] == 2890/7776*p[n,m-2] + 2611/7776*p[n-1,m-1] + 2275/7776*p[n-2,m],
p[n,1] == 855/1296 + 441/1296*p[n-1,1],
p[3,m] == 295/1296*p[3,m-2] + 420/1296*p[2,m-1],
p[2,m] == 55/216,
p[1,m] == 0

Mathematica的RSolve函数不起作用(我确信我使用的语法是正确的，因为我遵循了http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/RSolve.html中的两个变量的示例)。

事实上，RSolve甚至不会解决这个“更简单”的递归：

p[n,m] == p[n,m-2] + p[n-1,m-1] + p[n-2,m],
p[0,m] == 1,
p[1,m] == 1,
p[n,1] == 1,
p[n,0] == 1

在解决这种类型的递归关系时，有没有从根本上很难的地方，或者只是Mathematica很不稳定？

我正在使用的确切示例如下：

RSolve[{
p[n,m] == p[n,m-2] + p[n-1,m-1] + p[n-2,m], 
p[0,m] == 1, 
p[1,m] == 1, 
p[n,1] == 1, 
p[n,0] == 1 
}, p[n,m], {n,m}]

返回值与我的输入相同，只是在一些数字上有些不同。

在文档页面上，它在“范围”下，然后是“偏差方程式”。

Answer 1

...just我的两点意见，但是这个等式系统不是有缺陷吗？即：

p[n,m] == 2890/7776*p[n,m-2] + 2611/7776*p[n-1,m-1] + 2275/7776*p[n-2,m]

例如，让我们尝试计算pN,2

p[N,2] = 2890/7776*p[N,0] + ...
       = 2890/7776*2890/7776*p[N,-2] + ...
       = ... p[N,-4] + ...

我想你明白我的意思了。它永远不会达到偶数m的初始条件。同样适用于：

p[3,m] == 295/1296*p[3,m-2] + ...

相反，将永远不会使用初始条件p[1,m] == 0。也许添加pn,0或pn,2的定义可以通过很好地定义它来解决您的问题。

Answer 2

免责声明:我只懂一点线性代数和微积分。我对Wolfram一无所知。

这可能是因为它从根本上说是很难的。你链接到的例子都比你的简单。例如，请看下面的示例：

RSolve[a[m + 1, n] - 3/4 a[m, n + 1] == 0, a[m, n], {m, n}]

所有的am，n都在一条直线上，m+n=k表示某个常数k，比如你知道一个10，5，你可以计算出11，4，12，3等等，但它们都在一条直线上。这就是为什么输出会包含m+n的一些函数。你可以只用一个变量重写它，并得到同样的效果：

RSolve[{a[m + 1] - 3/4 a[m] == 0, m+n=k}, a[m], {m, n}]

该链接中的所有示例也都在一条直线上。对于你需要知道的每个am，n总是m的函数，任何这种形式的东西都很容易用线性代数矩阵求解。(如果您想知道如何执行这些操作，请告诉我。)

然而，对于你的，情况并非如此。你的扩展就像一棵树，而不是一条线。我认为这可能就是困难所在。

这让我想起了偏导数和全导数之间的区别。这可能是一个很好的起点。