矩阵中的r个独立列

Question

我正在尝试寻找独立的列来解线性方程组。下面是我的简化示例：

> mat = matrix(c(1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,1,-1), nrow=4, ncol=6, dimnames=list(c("A", "B", "C", "D"), paste("v", 1:6, sep="")))
> mat
  v1 v2 v3 v4 v5 v6
A  1 -1  0  0 -1  0
B  0  1 -1  0  0  0
C  0  0  1 -1  0  1
D  0  0  0  0  1 -1

矩阵是满秩的：

qr(mat)$rank

我知道列v4和v6是独立的.

通过重新排列纸上的线性方程，我看到

v1、v2、v3、v4、v5、v6 = v4、v4-v6、v4-v6、v4、v4、v6、v6

因此，我可以从v4和v6的任意值中找到一个位于零空间的向量，方法是将v4和v6与下面的向量相乘：

v4 * [1,1,1,1,0,0] + v6 * [0,-1,-1,0,1,1]

我的第二个问题是:如何找到这些向量，即如何求解v4和v6的矩阵？例如

qr.solve(mat, cbind(c(0,0,0,0), c(0,0,0,0)))

给出了两个长度为6且只有零的向量。

任何帮助都是非常感谢的，非常感谢！

-H-

Answer 1

使用透视信息查找一组独立的列：

q <- qr(mat)

mmat <- mat[,q$pivot[seq(q$rank)]]

mmat
##   v1 v2 v3 v5
## A  1 -1  0 -1
## B  0  1 -1  0
## C  0  0  1  0
## D  0  0  0  1

qr(mmat)$rank
## [1] 4

为什么这是可行的？pivot的含义在由?qr.Q提出的QR.Auxiliaries {base}中给出。特别是：

qr.R returns R. This may be pivoted, e.g., if a <- qr(x) then x[, a$pivot] = QR.
The number of rows of R is either nrow(X) or ncol(X) (and may depend on whether
complete is TRUE or FALSE).

为了数值稳定性，旋转是为了减少绝对值而对特征值进行排序。这也意味着任何0特征值都在最后，超出了q$pivot中的q$rank (在当前示例中不存在，其中Q是4x4正交矩阵)。

QR.Auxiliaries {base}中的最后几行显示了这种关系：

pivI <- sort.list(a$pivot) # the inverse permutation
stopifnot(
 all.equal(x[, a$pivot], qr.Q(a) %*% qr.R(a)),          # TRUE
 all.equal(x           , qr.Q(a) %*% qr.R(a)[, pivI]))  # TRUE too!

Answer 2

如果从v4和v6开始，那么在第1行和第2行中还需要2个非零值，因此需要选择v1和v2或v3。这些都是具有最大排名的可能的基础选择。

> qr(mat[, c(1,2,4,6)])$rank
[1] 4
> qr(mat[, c(1,2,3,5)])$rank
[1] 4
> qr(mat[, c(1,3,4,6)])$rank
[1] 4

“独立列”并不是唯一确定的。可能存在必须依赖的列集，例如，彼此是标量倍数的列集，但这里不是这种情况。

另一方面，这将是排名不足的：

> qr(mat[, c(1,2,3,4)])$rank
[1] 3