E-稠密半群的作用 Actions of E-dense semigroups

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E 稠密半群的作用

https://link.springer.com/article/10.1007/s00233-025-10592-5

摘要

我们以类似于逆半群作用于逆半群的方式，描述了 E-稠密半群上的 E-稠密作用的结构。这在很大程度上基于 Schein 关于逆半群通过部分一对一映射表示的工作。我们还研究了半群的可消去作用作为一种群作用的推广，并刻画了在既是 E-稠密又是 E-酉的半群上的局部自由可消去作用。

关键词 半群 · 幺半群 · E-稠密 · E-逆 · E-酉 · 半群作用 · E-稠密作用

1 引言与预备知识

如果 S 是一个逆半群，那么我们可以用 I(X)替代 T(X)，其中 I(X)是由部分一对一映射构成的逆半群。Boris Schein 在 20 世纪 60 年代初给出了这种表示的完整理论，相关工作的介绍可见 [1] 和 [7]。在这里，我们希望模仿这种方法来处理 E-稠密半群，并在第 2 节中实现这一点。在引入 E-稠密作用的定义并提供一些基本结果后，我们描述了 E-稠密半群上分次作用的结构。然后介绍了传递作用，并给出了此类作用的一个相当全面的结构。在第 3 节中，受群的离散对数问题在某些密码学应用中的启发，我们将这些结果应用于考虑可消去半群作用，特别是当 S 是一个 E-稠密且 E-酉半群时，考虑 E-稠密作用的结构。

2 E-稠密半群的E-稠密作用

在本节中，我们从逆半群作用的理论中汲取灵感，而该理论本身又基于 Schein 关于逆半群通过部分一对一映射的表示理论（参见 [1] 和 [7]）。

2.1 分次作用

设 S 是一个幂等元构成半格 E 的 E-稠密半群。我们可以将 E 视为一个 E-稠密 S-作用，其作用由 E 上的 Munn 表示给出。这是一个重要的 E-稠密作用，并在某些方面与 S 上的 Wagner–Preston 作用相关。更详细地说，令 e∈E，并令 [e]表示由 e 生成的序理想。这是集合

2.2 传递的 S-作用

3 可消去作用

第一个性质说明“解密”是可行的，第二个性质说明我们可以使用相同类型的群作用进行解密，尽管可能使用一个不同的密钥。注意到这与 E-稠密半群的 E-稠密作用有明显的相似性，我们考虑为了将第 2 节的部分内容推广到全半群作用所需满足的条件。我们将看到，此类作用在密码学应用中的使用可能相当有限。

我们给出了左稠密性和可消去性的刻画，并推导出密钥集 K(s,x)的有用描述。最后，我们考虑那些同时也是 E-酉的 E-稠密半群，并描述了一种通用构造方法，适用于具有任意但有限个幂等元的半群的合适的可消去作用。

命题 3.1 设 S 是一个半群，X 是一个 S-作用（不一定是可消去的）。以下条件等价：

已有许多关于 E-酉稠密半群结构的研究成果，这些成果大多基于 McAlister 的著名工作（[9]、[10]）；本文在此呈现其中一种版本，最早见于文献 [3]。首先注意到：若 S 是一个半群，且 1S是通过向 S 添加单位元 1（无论 S 是否已含有单位元）所得到的幺半群，则 S 是一个 E-酉稠密半群，当且仅当 1S是一个 1-E-酉稠密幺半群。这一观察使我们可以在不失一般性的情况下，仅针对 E-酉稠密幺半群给出构造。本文在很大程度上沿用了文献 [4] 中的术语。

原文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00233-025-10592-5