基于U-K方程的scara动力学模型

REF：ＳＣＡＲＡ 机械手的动力学建模及仿真

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U-K方程概述

Udwadia–Kalaba方程是用于描述受约束机械系统运动的一种显式动力学方程，为受约束的机械系统提供一个闭式的显式表达。其标准数学形式如下：

对于一个无约束系统，其动力学方程为：

其中，M是质量矩阵，q¨是广义加速度，Q是已知力（包括外力、科氏力、重力等），当系统受到约束（约束方程可化为加速度层面的线性形式Aq¨=b）时，U-K方程给出受约束系统的总加速度和约束力的显式解：

其中：

q¨u 是无约束系统的加速度；

Qc是约束力；

上标“+”表示M-P伪逆（Moore-Penrose广义逆）；

该方程不引入拉格朗日乘子或任何准速度等辅助变量

力学方法是否需辅助变量约束力形式适用约束类型

牛顿-欧拉方程是（约束力/力矩）隐式，需联立求解简单系统为主

拉格朗日方程是（拉格朗日乘子λ）隐式，乘子待定完整约束为主

凯恩方程是（准速度、偏速度）可消去，非显式非完整约束

U–K方程否显式闭式解完整/非完整均适用

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基于U-K方程的scara机械臂的动力学方程

ＳＣＡＲＡ 机械手未受约束时的动力学方程为

其中：质量矩阵 Ｍ （ θ ）、向心力和哥氏力矩阵 Ｃ （ θ ， θ·）、重力矩阵 Ｇ （ θ ）分别为

基于 U-K 方程建立 scara 机械手的动力学方程为

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基于Baumgarte 稳定性方法和改进U-K方程的动力学方程

采用 Baumgarte 稳定性方法对动力学方程进行修正后的动力学方程为

其中：

最终形成的动力学方程为：

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仿真分析

假设 scara 机械手末端执行器的运动轨迹为

对其求时间的二阶导数，可得

分别求解动力学方程式得到广义变量的数值解，下标 ｔ表示广义变量的理论值，分别以下标 ｇ、 ｂ、 ｘ表示理论值与改进U-K 方程的误差、理论值与Baumgarte 稳定性方法的误差、理论值与修正 U-K 方程的误差，即