《信号与系统》- 第五章连续系统的 s 域分析

啊阿狸不会拉杆

发布于 2026-01-21 11:51:41

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在信号与系统的研究中，连续系统的 s 域分析是极为重要的内容，它通过拉普拉斯变换等工具，为解决复杂的系统问题提供了强大的方法。本章将围绕拉普拉斯变换及其相关性质、逆变换、复频域分析等展开详细讲解。

🔵5.1 拉普拉斯变换

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

二、收敛域

三、（单边）拉普拉斯变换

下面用 Python 实现一个简单指数信号的单边拉普拉斯变换：

import sympy as sp

# 定义符号变量

t, s, a = sp.symbols('t s a')

# 定义指数信号

f_t = sp.exp(a * t) * sp.Heaviside(t) # Heaviside函数表示单位阶跃函数

# 计算单边拉普拉斯变换

F_s = sp.laplace_transform(f_t, t, s)

print(F_s)

注释：

首先导入 sympy 库，它是一个用于符号计算的 Python 库。
定义符号变量 t（时间）、s（复频域变量）和 a（指数信号的参数）。
使用 sp.Heaviside(t) 表示单位阶跃函数，定义指数信号 f_t 。
调用 sp.laplace_transform(f_t, t, s) 计算单边拉普拉斯变换，返回结果包含变换后的表达式和收敛域信息。

🔵5.2 拉普拉斯变换的性质

下面通过 Python 代码演示拉普拉斯变换的线性性质：

import sympy as sp

# 定义符号变量

t, s, a, b = sp.symbols('t s a b')

# 定义两个信号

f1_t = sp.exp(a * t) * sp.Heaviside(t)

f2_t = sp.exp(b * t) * sp.Heaviside(t)

# 计算两个信号的拉普拉斯变换

F1_s = sp.laplace_transform(f1_t, t, s)[0]

F2_s = sp.laplace_transform(f2_t, t, s)[0]

# 定义线性组合信号

f_linear = 2 * f1_t + 3 * f2_t

# 计算线性组合信号的拉普拉斯变换

F_linear = sp.laplace_transform(f_linear, t, s)[0]

# 验证线性性质

print("验证线性性质：", F_linear == 2 * F1_s + 3 * F2_s)

注释：

同样先导入 sympy 库并定义相关符号变量。
定义两个指数信号 f1_t 和 f2_t 。
分别计算两个信号的拉普拉斯变换 F1_s 和 F2_s 。
定义线性组合信号 f_linear 。
计算线性组合信号的拉普拉斯变换 F_linear ，并验证是否满足线性性质。

🔵5.3 拉普拉斯逆变换

一、查表法

二、部分分式展开法

下面用 Python 实现部分分式展开法求拉普拉斯逆变换：

import sympy as sp

# 定义符号变量

s = sp.symbols('s')

# 定义F(s)

F_s = (s + 1) / ((s + 2) * (s + 3))

# 进行部分分式展开

partial_fraction = sp.apart(F_s)

# 计算拉普拉斯逆变换

f_t = sp.inverse_laplace_transform(partial_fraction, s, sp.Symbol('t'))

print(f_t)

注释：

导入 sympy 库并定义符号变量 s 。
定义 ( F(s) ) 的表达式。
调用 sp.apart(F_s) 对 ( F(s) ) 进行部分分式展开。
调用 sp.inverse_laplace_transform(partial_fraction, s, sp.Symbol('t')) 计算拉普拉斯逆变换，得到时域信号 f_t 。

🔵5.4 复频域分析

一、微分方程的变换解

二、系统函数

三、系统的 s 域框图

系统的 s 域框图是用基本的运算单元（加法器、乘法器、积分器等）在复频域表示系统的结构。通过 s 域框图可以更直观地理解系统的工作原理和信号的传输过程。

四、电路的 s 域模型

在电路分析中，将电路元件（电阻、电感、电容）的时域模型通过拉普拉斯变换转换为 s 域模型，从而将时域的电路分析问题转换为复频域的代数运算问题，简化电路分析过程。

五、拉普拉斯变换与傅里叶变换

下面用 Python 实现通过拉普拉斯变换求解微分方程：

import sympy as sp

# 定义符号变量

t, s = sp.symbols('t s')

# 定义输入信号f(t)及其拉普拉斯变换F(s)

f_t = sp.exp(-t) * sp.Heaviside(t)

F_s = sp.laplace_transform(f_t, t, s)[0]

# 定义输出信号Y(s)

Y_s = sp.Symbol('Y(s)')

# 定义微分方程在s域的表达式

diff_eq_s = (s**2 + 3*s + 2)*Y_s - s*0 - 0 # 假设初始条件为0

# 求解Y(s)

Y_s_solved = sp.solve(diff_eq_s - F_s, Y_s)[0]

# 计算拉普拉斯逆变换得到y(t)

y_t = sp.inverse_laplace_transform(Y_s_solved, s, t)

print(y_t)

注释：