【11408学习记录】数学逻辑的基石：从充分条件、必要条件到命题推理

数学

基本逻辑

命题

命题 是 逻辑推理 的基本单位，必须能确定其真假。

• 命题 一定是陈述句
• 疑问句、祈使句、悖论等都不能作为命题
• 例子 1 是一个 正整数 这是一个陈述句，且能确定真假，因此是一个命题 1 是一个 负数 吗？ 这是一个疑问句，因此不是一个命题

真值 就是命题的真假值。

• 在经典的二值逻辑中，一个命题的真值只有 “真” 或 “假” 两种

真命题：判断为 真 的 陈述句

• 例如：1 是 正整数 这是一个陈述句，且我们能判断真假，因此它是一个命题 由于这句话正确，因此该命题为 真命题

假命题：判断为 假 的 陈述句

• 例如：1 是一个 负数 这是一个陈述句，且我们能判断真假，因此它是一个命题 由于这句话错误，因此该命题为 假命题

原命题：所给出的最初的陈述句

• 例句：若 A ，则 B

逆命题：原命题 的条件与结论互换位置的命题

• 例句：若 B ，则 A

否命题：原命题 的否定形式，不仅否定了条件，同时还否定了结论

• 例句：若 {非A} ，则 {非B}

逆否命题：原命题 的 逆否形式

• 例句：若 {非B} ，则 {非A}

互逆关系：

• 原命题 与 逆命题 互逆
• 否命题 与 逆否命题 互逆

互否关系：

• 原命题 与 否命题 互否
• 逆命题 与 逆否命题 互否

互逆否关系：

• 原命题 与 逆否命题 互为逆否
• 逆命题 与 否命题 互为逆否

等价命题：互为逆否 的两个命题为 等价命题

• 原命题 与 逆否命题 等价
• 逆命题 与 否命题 等价
• 互为等价的两个命题 同真假

真假独立：原命题 的真假不能得到 逆命题 与 否命题 的真假

命题的否定：同样为 原命题 的 否定形式 ，相比于 否命题 ，命题的否定 仅 否定结论

• 例句：若 A ，且 {非B}
• 简单的说就是，在原命题的基础上举一个反例，就比如：
  • 原命题：地面湿了，刚刚下雨了
  • 命题的否定：地面湿了，刚刚没下雨
• 命题的否定 与 原命题 一定是 一真一假

条件判断

充分条件：A \implies B ，称 A 是 B 的 充分条件，B 是 A 的 必要条件

• 充分条件：只有 A 成立，才能推出 B 成立
• 必要条件：B 成立，无法推出 A 成立
• 例子：考上研究生 \implies 数学成绩过了及格线 这个条件中，考上研究生就是 充分条件，数学成绩过了及格线就是 必要条件 换句话说，当我们考上了研究生，那么我们的数学成绩肯定就过了及格线 再或者说，我们要想考上研究生，那么数学成绩必须得过及格线 当我们的数学过了及格线，并不代表我们能够考上研究生

充要条件：A\iff B ，称 A 是 B 的 充要条件

• 充要条件：当 A 成立时，B 也成立；同理，当 B 成立时，A 也成立
• 例子：资产不低于一百万 \iff 是一个百万富翁 这个条件中，资产不低于一百万 与 是一个百万富翁 互为 充要条件 简单的说就是：当我们的资产不低于一百万时，我们就可以称自己是一个百万富翁； 同理：当我们是一个百万富翁时，就代表我们的资产不低于一百万

无关条件：A \nRightarrow B \quad \text{且} \quad B \nRightarrow A ，称 A 是 B 的 既非充分也非必要条件，亦称 无关条件

• 无关条件：A 成立不能得出 B 成立，B 成立也不能得出 A 成立
• 例子：我刚睡醒，我昨天吃了火锅 这句话中，我刚睡醒 并不能得到 我昨天吃了火锅 这件事 同理：我昨天吃了火锅 也不能得到 我刚睡醒 这件事 简单的说就是：二者毫不相干，一个具体的例子就是： A：你吃了吗? B：我昨天做了一个噩梦 就这段对话最能体现这种 毫不相干，我们通常将其称为 答非所问、驴唇不对马嘴

对立判断

基本概念

对立事件：两个事件中 必有一个且仅有一个 发生 互斥事件：两个事件 不能同时 发生

• 所有的 对立事件 均是 互斥事件，但是并非所有的 互斥事件 都是 对立事件
• 从命题的观点来看，对立事件 对应的就是 命题的否定
• 例如
  • 原事件：地上湿了，今天下雨了
  • 对立事件：地上湿了，今天没下雨
  • 原命题：
    • 条件：地上湿了
    • 结论：今天下雨了
  • 命题的否定：
    • 条件：地上湿了
    • 结论：今天没下雨

基本判断

判断1：若 A \implies B，则 \overline{B} \implies \overline{A}

• 这里的命题实际上就是 逆否命题 在 概率论 中的运用
• 该命题的含义是： 若事件 A 发生能推导出事件 B 发生 则事件 B 不发生就能推导出事件 A 不发生

判断2：\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

flowchart  LR
	subgraph U[全集]
		a((a))
		b((b))
	end
classDef R color: white, fill: red, stroke: red, stroke-width: 2px
classDef B color: white, fill: blue, stroke: blue, stroke-width: 2px
classDef Y color: white, fill: yellow, stroke: yellow, stroke-width: 2px
class a R
class b B
class U Y

结合上面的文氏图我们再来理解这个关系：

• 事件 A 并 事件 B 实际上就是指的上图中的 a, b 这两个圆
• 而 A \cup B 的对立事件，则是全集中，除了这两个圆以外的全部区域
• A 的对立事件 \overline{A} 指的是除了事件 A 以外的全部区域

flowchart  LR
	subgraph U[全集]
		a((a))
		b((b))
	end
classDef R color: white, fill: red, stroke: red, stroke-width: 2px
classDef B color: white, fill: blue, stroke: blue, stroke-width: 2px
classDef Y color: black, fill: yellow, stroke: yellow, stroke-width: 2px

class a R
class U Y
class b Y

• 同理，B 的对立事件 \overline{B} 指的是除了事件 B 以外的全部区域

flowchart  LR
	subgraph U[全集]
		a((a))
		b((b))
	end
classDef R color: white, fill: red, stroke: red, stroke-width: 2px
classDef B color: white, fill: blue, stroke: blue, stroke-width: 2px
classDef Y color: black, fill: yellow, stroke: yellow, stroke-width: 2px

class b B
class U Y
class a Y

• \overline{A} \cap \overline{B} 指的则是二者的 交集 由于 \overline{A} 是包含 B ，\overline{B} 是包含 A 即当二者相交的部分则是除去了 A, B 这两个圆的所有区域

flowchart  LR
	subgraph U[全集]
		a((a))
		b((b))
	end
classDef R color: white, fill: red, stroke: red, stroke-width: 2px
classDef B color: white, fill: blue, stroke: blue, stroke-width: 2px
classDef Y color: white, fill: yellow, stroke: yellow, stroke-width: 2px
class a R
class b B
class U Y

因此该等式成立

判断3：\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

这个等式更好理解：

• 对于任意事件 A \cap B ，其表示的含义是 A 与 B 相交的区域： 若有交集，则是相交区域 若无交集，则是 \emptyset
• 那么，其对立事件 \overline{A \cap B} 则表示的是除该区域以外的所有区域： A \cap B 非空，则是除该区域以外的所有区域 A \cap B 为空，则是为 全集本身
• 而事件 A 的对立事件 \overline{A} 表示的是除 A 以外的所有区域
• 事件 B 的对立事件 \overline{B} 表示的是除 B 以外的所有区域
• 二者的并集则代表了 全集本身，因此等式成立

例题实战

命题 {p} ：若存在 a \in R 且 a \neq 0，对任意的 x \in R，均有 f(x + a) < f(x) + f(a){q_1} ：f(x) 严格单调递减，且 f(x) > 0{q_2} ：f(x) 严格单调增加，且存在 x_0 < 0f(x_0) = 0 判断三者之间的关系；

1. 基本概念：

严格单调递增：在定义域内，对于任意 x_1, x_2 \in D 且 x_1 < x_2f(x_1) < f(x_2)x_1, x_2 \in D 且 x_1 < x_2f(x_1) > f(x_2)

命题{p}:

• 当 a > 0x \in R 均有 x + a > xf(x) 严格单调递增，则 f(x + a) > f(x)f(a) \geq 0 ，则 f(x) \leq f(x) + f(a)，即 f(x + a) \leq f(x) + f(a) 若 f(a) < 0f(x) > f(x) + f(a)f(x + a) > f(x) > f(x) + f(a)f(x) 严格单调递减，则 f(x + a) < f(x)f(a) \geq 0 ，则 f(x) \leq f(x) + f(a)，即 f(x + a) < f(x) \leq f(x) + f(a)f(a) < 0f(x) > f(x) + f(a)f(x + a) \leq f(x) + f(a)
• 当 a < 0x \in R 均有 x + a < xf(x) 严格单调递增，则 f(x + a) < f(x)f(a) \geq 0 ，则 f(x) \leq f(x) + f(a)，即 f(x + a) < f(x) \leq f(x) + f(a)f(a) < 0f(x) > f(x) + f(a)f(x + a) \leq f(x) + f(a) 若 f(x) 严格单调递减，则 f(x + a) > f(x)f(a) \geq 0 ，则 f(x) \leq f(x) + f(a)，即 f(x + a) \leq f(x) + f(a) 若 f(a) < 0f(x) > f(x) + f(a)f(x + a) > f(x) > f(x) + f(a)

命题{q_1}：当 f(x) 严格单调递减，且 f(x) > 0

• 当 a > 0x \in R 均有 x + a > xf(x) 严格单调递减，则 f(x + a) < f(x)f(a) > 0f(x) < f(x) + f(a)f(x + a) < f(x) < f(x) + f(a)
• 当 a < 0x \in R 均有 x + a < xf(x) 严格单调递减，则 f(x + a) > f(x)f(a) > 0f(x) < f(x) + f(a)f(x) < f(x + a) 且 f(x) <f(x) + f(a)

因此，取 a > 0{p} 成立，即 命题q_1 为 命题{p} 的 充分不必要条件

命题 {q_2} ：f(x) 严格单调增加，且存在 x_0 < 0f(x_0) = 0，则

设 a = x_0 ，即：

• a < 0f(a) = 0，对任意 x \in R 均有 x + a < xf(x) 严格单调递增，则 f(x + a) < f(x)f(a) == 0 ，则 f(x) = f(x) + f(a)，即 f(x + a) < f(x) = f(x) + f(a)

因此，取 a = x_0 < 0{p} 成立，即 命题q_2 为 命题{p} 的 充分不必要条件

由于 命题q_1 与 命题q_2 都是在特定情况下成立，因此当 命题{p} 成立时，无法得出 命题q_1 成立或者 命题q_2 成立，因此 命题{p} 是 命题q_1 与 命题q_2 的 必要不充分条件