五连杆正逆解-两个圆的交点解法

懒洋洋

发布于 2025-11-15 10:58:41

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源代码

def circle_intersection(p1, r1, p2, r2):
    d = np.linalg.norm(p2 - p1)
    if d > r1 + r2 or d < abs(r1 - r2):
        return None  # 无交点
    a = (r1**2 - r2**2 + d**2) / (2 * d)
    h = np.sqrt(r1**2 - a**2)
    p_mid = p1 + a * (p2 - p1) / d
    offset = h * np.array([-(p2[1] - p1[1]), p2[0] - p1[0]]) / d
    return p_mid + offset, p_mid - offset

C_points = circle_intersection(D, L2, E, L3)

这段函数 circle_intersection 是计算两个圆的交点的代码，这是在五杆机构中计算点 C 的关键步骤。我们逐行详细讲解：

函数的定义，名称和参数：

def circle_intersection(p1, r1, p2, r2):

输入两个圆：
- 第一个圆：圆心 p1，半径 r1
- 第二个圆：圆心 p2，半径 r2
输出：
- 两个交点的坐标 p_mid ± offset（即返回两个交点）

✏️ 步骤详解

1️⃣ 计算两圆心的距离：

d = np.linalg.norm(p2 - p1)

p2 - p1：圆心向量
np.linalg.norm(...)：求欧几里得距离

📌 这个 d 是两个圆心之间的距离如果 d > r1 + r2，说明两圆太远了，不相交 如果 d < |r1 - r2|，说明一个圆完全包在另一个里面，也不相交

2️⃣ 判断是否有交点：

if d > r1 + r2 or d < abs(r1 - r2):
    return None  # 无交点

没有交点的情况直接返回 None

3️⃣ 计算两圆交点之间的“主线段”的中点位置：

a = (r1**2 - r2**2 + d**2) / (2 * d)

这个 a 是一个比例系数，它的几何含义如下：.

0

连接两个圆心形成一条线段（长度为 d）
在这条线段上，从 p1 向 p2 方向偏移 a，就是“交点连线”的中点（即两个交点的对称中心）

4️⃣ 求“交点到圆心连线中点”的垂直距离：

h = np.sqrt(r1**2 - a**2)

h 是从主线段中点垂直出去的长度
就是从这条线（圆心连接线）到交点的高度

5️⃣ 求交点中点 `p_mid`：

p_mid = p1 + a * (p2 - p1) / d

p2 - p1：是圆心间的向量
a * (...) / d：单位方向向量乘以长度 a
结果就是：从 p1 出发，沿着 p1→p2 的方向，前进 a 的距离，得到两个交点中点

6️⃣ 求交点偏移量 `offset`：

offset = h * np.array([-(p2[1] - p1[1]), p2[0] - p1[0]]) / d

这个是关键：

[−(y2−y1), x2−x1]：是将原方向 [x2−x1, y2−y1] 旋转 90°，得到垂直方向
再乘以 h，是垂直方向上前进 h 的长度

7️⃣ 得到两个交点：

return p_mid + offset, p_mid - offset

这两个点就是：

交点1 = 中点 + 垂直偏移
交点2 = 中点 - 垂
直偏移

📐 图示理解

           C1
           ●
          /|
      r1 / |
        /  | h
       /   |
p1 ●---------● p2
        a   |
           \|
           ●
           C2