傅里叶基映射：一种用于时间序列预测的时频学习框架

论文标题：Fourier Basis Mapping: A Time-Frequency Learning Framework for Time Series Forecasting

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2507.09445

研究背景

时间序列领域中，傅立叶变换有很广泛的应用，通过从时域到频域的变换，实际让模型可以从不同特征维度学习、训练。然而，现有基于傅里叶变换的方法存在两个主要问题：

• 起始周期不一致，实部和虚部需结合对应基函数才有明确意义，单独处理无法建立映射；
• 序列长度不一致，频率定义依赖序列长度，不同长度下频率含义不同，且忽视了时间信息，无法精确解释频率成分。

本文提出傅里叶基映射（FBM），FBM 通过傅里叶基展开和时频空间映射整合时频特征，提取明确的频率特征同时保留时间特性，支持与多种神经网络 “即插即用” 集成，只需调整首个初始投影层即可提升性能。

预分析阶段

0 核心思路

傅里叶变换的实部和虚部分别对应不同频率下余弦和正弦基函数的系数，而现有基于傅里叶的方法不涉及基函数，无法精确解释频率系数，存在起始周期不一致和序列长度不一致的问题，且当输入长度不能被频率层级整除时，傅里叶基函数具有时间依赖性，缺少基函数会让模型难以准确解释频率成分，而基函数能帮助解决这些问题，使模型更精准地捕捉时频关系。

图1：现有基于傅里叶变换的方法与本文方法的对比。现有方法主要在频率空间或时间空间中运行，其映射过程聚焦于频率特征或时间特征。FBM则同时在时频空间中运行，其映射过程聚焦于时频特征。

1 实例分析

图2 是一个具体例子，在 Case I 中，X 和 Y 频率、序列长度相同但起始周期不同，现有方法无法建立两者频谱间的数学映射，而通过基函数中的振幅和反正切值可解决该问题。Case II 中，X 和 Y 频率、起始周期相同但序列长度不同，8Hz 的余弦函数在不同长度序列下含义不同，现有模型无法准确处理这种差异。而引入基函数能有效解决这些问题，因为它包含了时间信息，有助于模型更好地理解和处理频率成分。

本文方法

图3是本文傅里叶基映射（FBM）网络的架构，核心在于构建时频特征，具体通过将频率谱的实部H_{R}与正交余弦基（C）相乘、虚部(H_{I}与正交正弦基（S）相乘后相加来实现，这一过程能捕捉明确的频率信息并保留时间特性。下游映射基于时频空间而非单一的时间或频率空间进行预测，因基函数融入了时间域信息，解决了此前频率域中的映射问题。

图 4 展示了本文的核心框架FBM-S，由三个模块构成的协同架构，分别处理趋势、季节性和交互效应：

• 季节性模块：该模块聚焦于提取时间序列的季节性模式。通过对扩展后的傅里叶基应用滚动窗口，充分利用傅里叶基的正弦特性，有效捕捉周期性的季节特征。
• 趋势模块：为灵活捕捉非线性趋势效应，此模块支持采用线性、基于 MLP 或基于 Transformer 的多种架构。同时，引入了一系列适配时频特征的技术，包括基于时频特征时间片段的分块处理，初始投影前后的中心化与逆中心化（用于优化特征分布），以及结合平均核和求和核的多尺度下采样（提升对不同粒度数据的适应性）。
• 交互模块：考虑到交互效应多发生在短时间内，模块设计了掩码机制，用于建模掩码输入序列长度与掩码输出序列长度之间的关系，以过滤冗余信息。此外，还应用了中心化技术，增强提取特征的鲁棒性，帮助模型更好地理解序列的峰值、谷值等状态。

值得注意的是，架构中 ID 代表独立通道建模，DC 代表依赖通道建模，二者结合使得 FBM-S 能兼顾不同类型的特征关联，整体提升时间序列预测性能。

本文实验

本文实验部分在12个真实世界数据集上展开，将FBM变体（FBM-L、FBM-NL、FBM-NP）及协同模型FBM-S与线性方法、基于Transformer、MLP、RNNs、CNNs和傅里叶基的六类基线方法对比，针对长期和短期时间序列预测任务，采用MSE、MAE等指标评估，结果显示FBM系列模型在多数数据集上表现优异，FBM-S尤为突出，同时通过效率分析和消融研究验证了模型的高效性及各模块、技术的有效性。