各种常用不等式汇总「建议收藏」

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参考： 百度百科 帮计算：https://www.bang123.cn/budengshi/ 杨氏( young )不等式：https://zhuanlan.zhihu.com/p/41654910 赫尔德（Hölder）不等式：https://zhuanlan.zhihu.com/p/27673684

文章目录

• 一、一般不等式
  • 1、一元二次不等式
  • 2、正弦余弦不等式
  • 3、均值不等式
  • 4、绝对值不等式
  • 5、排序不等式
  • 6、权方和不等式
• 二、人名不等式
  • 1、柯西不等式
  • 2、卡尔松不等式
  • 3、琴声不等式
  • 4、杨氏不等式
  • 5、赫尔德不等式
  • 6、闵可夫斯基不等式
  • 7、伯努利不等式

一、一般不等式

经常会用到的不等式一般有

前面三个是下面均值不等式的特殊情况。一般情况下a=b时，才取到等号

1、一元二次不等式

首先回顾一下一元二次方程的求根公式

一元二次不等式的解以及图像

2、正弦余弦不等式

3、均值不等式

均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。

• 调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
• 算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。
• 一组数据的平方的平均数的算术平方根。英文缩写为RMS。它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。英文名一般缩写成RMS。
• 几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

它们的公式如下：

调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）

4、绝对值不等式

5、排序不等式

反序和≤乱序和≤顺序和

6、权方和不等式

权方和不等式是一个数学中重要的不等式。其证明需要用到赫尔德不等式（Holder），可用于放缩的方法求最值（极值）、证明不等式等。

二、人名不等式

1、柯西不等式

柯西不等式，是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。从历史的角度讲，柯西不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式有很多形式

柯西不等式大致思想就是：向量的点积 ≤ 模的积

2、卡尔松不等式

卡尔松不等式(Carlson)是数学上的著名不等式之一，是柯西不等式的推广。卡尔松不等式在不等式的证明中有着广泛的应用。

卡尔松不等式是柯西不等式的推广。

3、琴声不等式

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。

琴声不等式，看起来显而易见，证明方法可用数学归纳法。

4、杨氏不等式

杨氏不等式又称Young不等式 ，Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的一种特例，Young不等式也是证明Holder（赫尔德）不等式的一个快捷方法。

还有很多形式的杨氏不等式，可参看 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41654910

5、赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

6、闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）是德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出的重要不等式，该不等式表明Lp空间是一个赋范向量空间。

7、伯努利不等式

伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。

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